Решение

В

x

следствие осевой симметрии полный вектор индукции на оси Ох направлен вдоль этой оси.

По закону Био-Савара вклад в проекцию вектора индукции магнитного поля на ось Ох от элемента длины кольца dl, расположенного в точке А (на рисунке) составляет dB_х=(₀/4)(Idl/r²)sin. Вектор лежит в плоскости, проходящей через ось Ох и точку А и перпендикулярен . Величина sin=R/r одна и та же для всех точек кольца. Полная величина магнитной индукции составляет

B(x)=(₀/2)IR²/r³=(₀/2)IR²/(R²+x²)^3/2

При x<<R B(x)=₀I/2R , при x>>R B(x)=(₀/2)IR²/x³.

19. Длинный проводник с током I = 3А изогнут в форме прямого угла. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии L = 10 см от вершины угла О.

Решение

Сначала найдем индукцию магнитного поля, создаваемого прямолинейным отрезком длиной D проводника с током I. Пусть R – длина перпендикуляра, проведенного на отрезок из точки наблюдения, r – расстояние от точки наблюдения до элемента отрезка длиной dl, d=dl/r – угол, под которым виден элемент отрезка dl из точки наблюдения. Пусть также  - угол между перпендикуляком к отрезку и прямой, проведенной из точки наблюдения к элементу отрезка, тогда R=rcos. По закону Био-Савара вклад в индукцию магнитного поля элемента отрезка dl составит

dB=(₀/4)(Idl/r²)= (₀/4)(Icos d/R).

После интегрирования по длине отрезка получается

B=(₀/4)(I/R)(sin₁ - sin₂).

Здесь ₁ и ₂ - углы между перпендикуляком к отрезку и прямыми, проведенными из точки наблюдения к концам отрезка.

Индукция магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии L от вершины угла, создается двумя лучами, являющимися сторонами угла. Вследствие симметрии относительно биссектрисы угла вклад в индукцию каждого из лучей одинаков.

Для одного луча ₁=/2, ₂=-/4, R=Lcos(/4), и

=

= 2 10^-6(3/0.1)0.42=2.48 10^-5 Тл

20. По длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса R течет ток с постоянной плотностью j. Определить индукцию магнитного поля как функцию расстояния r от оси провода и построить график этой зависимости.

Решение

Индукция магнитного поля обладает в этой задаче осевой симметрией и вследствие однородности вдоль проводника от координаты вдоль проводника не зависит. Силовые линии поля – концентрические окружности с общим центром на оси проводника. Вектор индукции направлен по касательным к этим окружностям. Эти окружности следует выбрать в качестве замкнутых контуров для применения теоремы о циркуляции:

где I=R²j – полный ток в проводнике. Отсюда следует

r<R

r>R

21. По оси длинного тонкостенного проводящего цилиндра радиуса R натянут провод. По цилиндру и проводу течет постоянный ток силы I, направление тока в проводе и цилиндре противоположны. Определить индукцию магнитного поля в зависимости от расстояния r от провода и построить график этой зависимости.

Решение

Индукция магнитного поля обладает в этой задаче осевой симметрией и вследствие однородности вдоль проводника от координаты вдоль проводника не зависит. Силовые линии поля – концентрические окружности с общим центром на оси проводника. Вектор индукции направлен по касательным к этим окружностям. Эти окружности следует выбрать в качестве замкнутых контуров для применения теоремы о циркуляции:

0<r<R

0<r<R

, B(r)=0 r>R,

22. Тороидальная однослойная катушка содержит N витков плотно намотанного провода, по которому течет ток I. Внутренний радиус тора R₁, внешний - R₂ . Определить индукцию магнитного поля внутри и вне тора на расстоянии r от его оси.