2.4. Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Теорема
1. Пусть
и
.
Тогда:
а)
;
б)
;
в)
если
,
то начиная с некоторого номера определена
последовательность
и
.
Если
,
то
называют неопределенностью
типа
.
Аналогично определяются неопределенности
типа
,
,
.
В этих случаях теорема 1 неприменима.
Теорема
2. Если
и начиная с некоторого номера
(
),
то
(
).
Теорема
3 (теорема о трех
последовательностях).
Если
,
и начиная с некоторого номера выполняются
неравенства
,
то
.
Пример.
Доказать, что
последовательность
расходится.
Решение.
Доказательство проведем
методом от противного. Пусть
.
Тогда
,
откуда
.
(1)
Так как
,
то, учитывая равенство (1), получаем
.
(2)
Из равенства
находим
.
Отсюда в силу (2) следует, что
.
Таким образом, получаем
,
что противоречит тождеству
.
Следовательно, последовательность
расходится.