Глава 5

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Непрерывность функции в точке.

Односторонняя непрерывность.

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Односторонние пределы.

В определении предела функции f(x) = А считается, что x стремится к х_о любым способом: оставаясь меньшим, чем х_о (слева от х_о), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки x_o.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к хо существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у = f(x) слева в точке х_о, если для любого число ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при x(x_o-δ; x_o), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Предел слева записывают так: f(x) = А₁ или коротко:

f(x_o - 0)= А₁ (обозначение Дирихле)

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(x₀+0)=A₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существует и оба односторонних предела, причем A = A₁ = A₂.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(x₀ - 0) и f(x₀+0) и они равны, то существует предел А= и А=f(x₀ -0).

Если же A₁A₂, то не существует.

Непрерывность функции в точке

Пусть функция y=f(x) определена в точке x₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀ если существует предел функции в этой точке он равен значению функции в этой точке, т.е.

(1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1. функция f(x) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2. функция f(x) имеет предел при x → a;

3. предел функции в точке x₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство (1)

Так как то равенство (1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно

перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение x₀.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и ее окрестности и . Это равенство можно переписать в следующем виде . Это означает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример 1. Докажем, что функция непрерывна в любой точке .

Решение. Так как , то функция непрерывна в точке .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Пример 2. Докажем, что функция непрерывна в любой точке .

Решение. Известно, что для любого выполняется неравенство . Возьмем теперь произвольное . Нам надо найти такое , чтобы из неравенства следовало неравенство . Но . Так как , а , то . Значит, если выбрать , то из следует, что . Но это и означает непрерывность функции в точке .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует окрестность точки такая, что для всех .

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к значению .

Приращением аргумента в точке называется разность , разность называется приращением функции.

Пусть функция определена в некотором интервале (рис.4). Возьмем произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается . Отсюда .Разность значений функции называется приращением функции f(x) в точке и обозначается или .

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое приращение функции , т. е.

.

Покажем, что это определение эквивалентно первому определению непрерывности функции. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее определение.

.

Воспользовавшись тем, что предел постоянной есть сама постоянная, получим

.

Тогда функция , определенная в точке и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке, который равен значению функции точке . Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента

Пример 3. Докажем непрерывность функции во всех точках .

Решение. Имеем . Так как , то функция непрерывна.

Определение 6. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если правый (левый) предел этой функции в точке равен значению функции в этой точке. Символически это записывается так , .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. В этом случае .

Приведем также следующие важные свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 3. Если функция непрерывна в точке и (), то существует окрестность точки , в которой ().

Кратко эту теорему можно сформулировать так: функция, непрерывная в точке , в достаточно малой окрестности этой точки имеет тот же знак, что и .

Обратим внимание, что из непрерывности функции в точке не следует непрерывность этой функции в достаточно малой окрестности точки . Например, функция

непрерывна в точке и разрывна во всех точках отличных от нуля.

Определение 7. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .

Так, в примере 1 функция непрерывна на множестве точек , в примере 2 функция непрерывна на множестве , в примере 3 функция непрерывна на множестве точек .