Тема 9. Динамика твердого тела.

Уравнения движения твердого тела. Импульс, момент импульса и энергия твердого тела. Законы изменения импульса, кинетического момента и энергии твердого тела. Кинетическая энергия вращения. Кинетический момент вращения твердого тела. Тензор инерции и моменты инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Асимметричный, симметричный и шаровой волчок. Уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Свободное вращение симметрического волчка. Плоскопараллельное движение твердого тела (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

Тема 10. Канонические уравнения гамильтона и вариационные принципы.

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы. Переменные Гамильтона. Преобразование Лежандра. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Гамильтониан линейного гармонического осциллятора, математического маятника, электрического заряда, движущегося в электромагнитном поле. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Теорема Лиувилля. Особые точки динамических систем, нуль-изоклины. Устойчивые, неустойчивые фокусы, седла, устойчивые и неустойчивые узлы, центры. Фазовый портрет математического маятника. Особые точки гамильтоновых систем. Сепаратриса. Фазовый портрет осциллятора с затуханием. Метод фазовых портретов в механике. Решение задачи о движении материальной точки в кулоновском поле методом фазовых портретов. Функция Рауса. Метод Рауса исследования систем с циклическими координатами. Использование метода Рауса в задаче о движении сферического маятника. Законы изменения и сохранения гамильтониана системы. Скобка Пуассона и ее свойства. Фундаментальные скобки Пуассона. Теорема Якоби-Пуассона. Определение интегралов движения материальной точки в центрально-симметричном поле с помощью вычисления скобок Пуассона. Интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Функция действия системы. Прямой и окольный пути механической системы. Вывод уравнений Лагранжа 2 рода из принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского. Вычисление действия на прямом и окольном путях при движении точки в однородном поле тяжести. Обобщенно-консервативные системы. Принцип наименьшего действия Мопертюи – Лагранжа. Изоэнергетическое варирование. Укороченное действие. Пример: движение точки в однородном поле тяжести. Принцип наименьшего действия в форме Якоби и геодезические линии в координатном пространстве. Теорема Нетер. Использование теоремы Нетер для получения интегралов движения системы N материальных точек в случае центрально-симметричного взаимодействия (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).

Тема 11. Метод канонических преобразований и уравнение гамильтона-Якоби.

Понятие канонического преобразования. Типы канонических преобразований. Производящая функция канонического преобразования. Вывод уравнений канонического преобразования. Метод канонических преобразований в задаче о линейном гармоническом осцилляторе. Скобка Пуассона – инвариант канонического преобразования. Интегральные инварианты Пуанкаре. Скобка Лагранжа. Теорема о связи скобок Лагранжа и Пуассона. Вычисление фундаментальных скобок Пуассона с помощью этой теоремы. Два подхода в использовании метода канонических преобразований. Уравнение Гамильтона – Якоби. Общий и полный интегралы уравнения Гамильтона – Якоби. Решение основной задачи механики с помощью полного интеграла. Уравнение Гамильтона-Якоби для линейного гармонического осциллятора. Уравнение Гамильтона-Якоби для материальной точки, движущейся в кулоновском потенциальном поле. Физический смысл полного интеграла. Метод разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Основные случаи разделения переменных для обобщенно-консервативных систем. Определение полного интеграла для систем с циклическими координатами. Аналогия между движением материальной точки и распространением монохроматической волны в оптически неоднородной среде. Оптико-механическая аналогия Гамильтона. Два типа периодичности при движении механических систем (либрация, вращение). Переменные действие – угол. Определение частот периодических движений. Переменные действие-угол для линейного гармонического осциллятора. Адиабатический инвариант механической системы. Адиабатический инвариант линейного гармонического осциллятора. Каноническая теория возмущений (ОК-(1,5,18,20,21)/1,ПК-1-5,10/(1-2)).