Задание 9-2.

1.Перемножить матрицы:

2.Вычислить выражения:

3.Решить уравнения: а)  б)

4.Найти обратную матрицу к матрице: а) б)  в) 

5.Найти все матрицы, коммутативные с матрицей: А = 

6.Найти общее решение и фундаментальную систему решений систем уравнений:

а) х₁  х₃ = 0, б) х₁ + ix₂ + x₃ + x₄ = 0,

х₂  х₄ = 0, х₁  x₂ + ix₃ + 2x₄ = 0,

х₁ + х₃  х₅ = 0, (1  i)х₁ + (1 + i)x₂ + (1  i)x₃ = 0.

х₂ + х₄  х₆ = 0,

х₃ + х₅ = 0,

х₄ + х₆ = 0. Ответы.

1a.   2а.   4а.

1б. 2б.   4б.  

1в.   2в. 4в. .

1г.  . 3а. 3б. X =  5. (x  y)E + yA.

6a. Только нулевое решение.

6б. ФСР: (0, i, 1, 0), Общ. реш. x₁ = x₄ = 0, x₂ = iС, x₃ = С.

Задание 101.

1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) на g(x):

а) f(x) = 2x⁴  3x³ + 4x²  5x + 6,  g(x) = x²  3x + 1;

б) f(x) = x⁴ 2x³ + 4x²  6x + 8, g(x) = x1.

2.При каком условии полином х³ + px + q делится на полином  9х² + mx  1?

3.Подобрать такие многочлены u(x) и v(x),что

f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1, f(x) = 3x³  2x² + x + 2, g(x) = x²  x + 1.

4.Найти наибольший общий делитель многочленов:

а) х⁴ + х³  3х²  4х  1 и х³ + х²  х  1;

б) х⁴  10х² + 1   и х⁴  4х³ + 6х² + 4х + 1.

5.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной: f(x)=x^m+n  x^m  xⁿ + 1.

6.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М₁(х) и

М₂(х) так, чтобы f₁(x)M₂(x) + f₂(x)M₁(x) = (x), где

f₁(x) = x⁴ + 2x³  x²  4x  2, f₂(x) = x⁴ + x³  x²  2х  2.

Ответы .

1а. 2x² + 3x + 11, 25x  5.  4a. х + 1.

1б. (x³  x² + 3x  3)(x  1) + 5. 4б. x²  2x-1

2. p = q²  1, m = q.   5. x^d  1, (d  НОД m и n).

3. u(x) = x, v(x) = 3x²  x + 1.  6. (x  1)f₁(x) + (x + 2)f₂(x) = x²  2.

Задание № 115

Разложить на неприводимые множители над полем С или полем

вещественных чисел многочлены:

1. х⁶  2х⁵  х⁴  2х³ + 5х² + 4х + 4, 2. x⁶ + 27,

3. х⁶  х³ + 1, 4. x²ⁿ  2хⁿ + 2.

Ответы .

1. (x³  x²  x + 2).

2. (x² + 3)(x² + x + 3)(x²  3x + 3).

3. (x²  2xсos + 1).

4. x²  2xсos ).

Задание № 122.

1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х  х₀: 

a) f(x) = x⁵, x₀ = 1,

б) f(x) = 2x⁵  5x³  8x, x₀ = 3.

2.Отделить кратные множители полиномов:

1. f(x) = x⁵  10x³  20x²  15x  4,

2. f(x) = x⁸ + 2x⁷ + 5x⁶ + 6x⁵ + 8x⁴ + 6x³ + 5x² + 2x + 1.

3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице

значений: x  1 0 1 2 3

f(x)   6 5 0 3 2