Ответы.

 

1a. (x  1)⁵ + 5(x  1)⁴ + 10(x  1)³ + 10(x  1)² + 5(x  1) + 1.

1б. f(x) = (x + 3)(2x⁴  6x³ + 13x²  39x + 109)  327, f(x₀) = 327.

2а. (x + 1)⁴(x  4).

2б. (x⁴ + x³ + 2x² + x + 1)².

3. f(x) = x⁴+ 4x³  x²  7x + 5.

Задание № 13  1.

1. Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом 1,

а) имеющий корни 1, 2, 3, 4,

б) имеющий корни 1(двойной), 2, 3, и 1 + i (простые).

2. Определить соотношение между p и q, при выполнении

которого корни х₁, х₂, х₃ многочлена х³ + рх + q

удовлетворяют условию х₃ = х₂^-1 + х₁^-1.

3. Определить    так, чтобы при  х <  полином х⁵  4х³ + 2х

был меньше 0,1 по модулю.

4. Найти х так, чтобы  f(х) < f(1), где f(х) = х⁴  3х³ + 2.

Ответы.

1a. х⁴ + 4x³  7x² + 34x + 24.

1б. (x  1)²(x  2)(x  1  i)=x⁵  (8 + i)x⁴ + (24  7i)x³  34 + 17i)x² +

+ (23 + 17i)x  (6 + 6i).

2. q³ + pq + q = 0 (q² + p + 1 = 0).

3.   = 1/21.

4. x = 1  , 0 <  < 1/8.

Задание № 143.

1.Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов:

а) х³  7х + 7, б) 2х⁴  8х³ + 8х  1, в) х⁴  4х³  4х² + 4х + 1.

2.Доказать,что многочлен t³  3t + r не может иметь более одного

вещественного корня в интервале (0,1).

3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:

х⁷  108х⁵  445х³ + 900х² + 801.

4.Доказать, что многочлен х⁸ + 7х⁶  9х⁵  х⁴  3 имеет ровно два

вещественных корня, положительный и отрицательный.

5.Вычислить с точностью до 0,0001вещественный корень уравнения х⁴ + 3х³  9х  9 = 0, содержащийся в интервале (0,2).

Ответы.

1а. 3 вещ. корня в интервалах: (4, 3), (1, 3/2), (3/2, 2).

1б. 4 вещ. корня в интервалах: (1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3).

1в. f = x⁴  4x³  4x² + 4x + 1, f₁ = x³  3x²  2x + 1, f₂ = 5x²  x  2,

f₃ = 18x + 1, f₄ = 1. 4 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (0, 1), (4, 5).

2. Проверить, что производная не может иметь корней в итерв.(0, 1).

3. 11 < x_i < 11.

4. По правилу знаков Декарта f(x) имеет 1 положит. корень, как и

f(x) = x⁸ + 7x⁶ + 9x⁵  x⁴  3, слно, f имеет 1 отрицат. корень и f(0)  0.

5. 3,3876, 0,5136, 2,8741. 6. 1,7320.

Задание № 15 4.

1.Ассоциативна ли операция  на множестве М, если

а) М = Z, x  y = x  y;

б) М = Z, x  y = x² + y²;

в) М = R, x  y = sinxsiny;

2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R⁺ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами коммутативности, ассоциативности ?

а) а  b = а/b; в) а  b = ;

б) а  b = (а + b)/2; г) а  b = ab  ba;

3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами:

а) ( 1, 1, );

б) множество степеней данного числа а, а R, а  0 c целыми показателями относительно умножения;

в) множество всех комплексных корней фиксированной степени n из 1 относительно умножения;

г) множество невырожденных матриц относительно умножения;

д) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;

е) множество диагональных матриц относительно сложения;

ж) множество R⁺, если операция определена так:

а  b = a^b;

з) множество R⁺, если операция определена так:

а  b = a²b²;

и) перестановки чисел (1, 2,..., n) относительно умножения;

к) множество корней всех целых положительных степеней из 1 относительно умножения.