Числе возможных состояний

Некоторые задачи приводят к необходимости анализа систем гибели и размножения с неограниченным числом возможных состояний. Пусть, например, начиная с некоторого момента времени t=0, начинается поставка в эксплуатацию некоторых изделий. Поток поставляемых изделий полагаем простейшим с интенсивностью  изделий в единицу времени. Каждое изделие эксплуатируется в среднем время T_, а затем выбывает и больше в эксплуатацию не возвращается. Поток выбывающих из эксплуатации изделий полагаем простейшим с интенсивностью =1/ T_ .

Требуется исследовать динамику изменения среднего числа изделий, находящихся в эксплуатации.

Задача сводится к анализу схемы гибели и размножения, представленного на рисунке

Разметка графа отражает тот факт, что с ростом числа изделий, находящихся в эксплуатации, пропорционально растет и интенсивность выбывания изделий.

Уравнения Колмогорова

где - вероятность того, что в момент t в эксплуатации будут находиться k изделий.

Часто исследователей интересует математическое ожидание числа изделий, находящихся в эксплуатации. Можно показать, что математическое ожидание числа изделий, находящихся в эксплуатации ( K(t) ) определяется выражением

.

При t→∞ K(t)→λ∕μ.

Многоканальные системы с отказами Распределение Эрланга, первая формула Эрланга

Описание системы. Число каналов обслуживания - n. Поток заявок - простейший с параметром (интенсивностью) . Параметр потока не зависит от числа заявок, связанных с системой. Производительность каждого канала обслуживания - , время обслуживания - T_=1/. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, теряется (получает орказ в обслуживании, покидает систему и больше в нее не возвращается).

Множество возможных состояний системы:

S₀ - все каналы обслуживания свободны, S_k - занято k каналов (1k<n), S_n- заняты все n каналов.

При наличии нескольких свободных каналов, канал для обслуживания очередной заявки выбирается случайно. Какие именно k из n каналов заняты, безразлично.

Размеченный граф состояний изображен на рисунке. Поток заявок не зависит от состояния системы , а интенсивность обслуженных заявок растет пропорционально числу занятых обслуживанием заявок каналов от  до n.

Пользуясь правилом составления уравнений Колмогорова, можно составить систему дифференциальных уравнений.

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга.

Для большинства практических задач достаточно найти предельные вероятности состояний. Для этого в системе дифференциальных уравнений следует приравнять нулю производные вероятностей состояний по времени:

Система однородных алгебраических уравнений совместно с нормировочным уравнением определяет стационарные вероятности состояний.

Граф состояний системы соответствует схеме гибели и размножения, следовательно:

.

Формулы определяют вероятности занятости ровно k каналов из n в многоканальной системе с отказами.

Вероятность занятости всех каналов n-канальной системе массового обслуживания

Это так называемая первая формула Эрланга.

Формула получена для простейшего входящего потока в предположении, что распределение времени обслуживания каждого канала экспоненциальное. Распределение Эрланга справедливо и для произвольного непрерывного закона распределения времени обслуживания при постоянном значении его математического ожидания .

Замечание. Формально, из первой формулы Эрланга следует, что при числе каналов равном нулю (n=0) вероятность занятости всех каналов такой виртуальной системы равна единице при любых α.

Распределения вероятностей числа занятых каналов при разной нагрузке (=1 и =3) для пятиканальной системы представлены на рисунке.

Если число каналов в системе велико, то

и, следовательно,

.

Эта формула может применяться для вычисления вероятностей p_k для больших n и не слишком больших .

Показатели эффективности системы.

Вероятность отказа в обслуживании

.

Абсолютная пропускная способность системы

Среднее число занятых каналов

Или проще:

.

Часто возникает необходимость при заданном  найти число каналов (n), обеспечивающих вероятность отказов, не более заданной ( p_n  P_отк). Для этого необходимо решить уравнение относительно n.

Для этого можно пользоваться рекуррентным соотношением, имея ввиду, что

Проделаем простые преобразования:

.

Тогда, если представить p_n в виде:

и разделить числитель и знаменатель на , то получим рекуррентное соотношение для первой формулы Эрланга

Соотношение позволяет вычислять последовательность значений вероятности p_n при изменении n и фиксированной нагрузке . Для начала вычислений для заданного значения α полагается n=1, p₀=1. Тогда вероятность занятости канала в одноканальной системе

p₁=/(1+).

Подставив это значение в рекуррентную формулу, получим вероятность занятости всех каналов в двухканальной системе с отказами (т.е. вероятность отказа в обслуживании)

и так до получения вероятности требуемой занятости всех каналов.