Решение.

Система алгебраических уравнений для определения предельных вероятностей:

Нормировочное уравнение .

Для нахождения предельных вероятностей все вероятности, начиная с первой, последовательно выражаются через p₀, после чего, воспользовавшись нормировочным уравнением, находится p₀. Из второго уравнения сразу определяется:

Подстановкой p₁ в уравнения () и () находятся вероятности p₂, p₃, p₄:

p_i=h_ip₀ для i =2, 3, 4.

Из уравнения нормировки находится вероятность p₀.

Одноканальная система с неограниченной очередью

Результаты, полученные для системы при числе мест в очереди m, можно распространить на системы неограниченной очередью, перейдя к пределу при m. При этом возможны два случая: >1 и <1.

При >1 канал обслуживания в среднем не успевает обслужить входящий поток (>), очередь растет неограниченно и в системе не наступает установившееся состояние.

Предельные вероятности существуют только при <1. Этот случай и рассматривается далее.

Вероятности состояний имеют т.н. распределение Паскаля. При α<0 , следовательно,

.

Так как <1, то наиболее вероятным является состояние p₀.

Показатели эффективности.

Относительная пропускная способность системы q=1, так как рано или поздно любая заявка будет обслужена.

Среднее число заявок в системе (в обслуживании и очереди):

.

Напомним, что

Воспользовавшись формулой для суммы членов геометрической прогрессии , получим окончательно:

.

Естественно, при α→1 K_сист→∞.

Среднее число заявок, ожидающих в очереди, можно найти, вычитая из K_сист среднее число заявок, находящихся в обслуживании, то есть

.

Естественно, при α→1 K_ож→∞.

По формуле Литтла, найдем среднее время пребывания заявки в системе с неограниченной очередью (ожидание плюс обслуживание) и среднее время ожидания

.

Пример.

Контролер проверяет изделия на конвейере. В среднем одно изделие появляется один раз в 10 мин. Среднее время проверки изделия - 8 мин. Входящий поток - простейший, распределение времени проверки - экспоненциальное. Если изделие появляется в момент, когда контролер занят, оно помещается в специальный контейнер и ожидает проверки. Число контейнеров ограничено, если все контейнеры заняты, изделие не проверяется. Определить число контейнеров (т.е число мест очереди), при котором вероятность контроля не менее 0,9 (P_отк0,1).

Решение. Тогда =1/10= 0,1 1/мин., =1/0.8=1.2 1/мин., =/=0,8. Вероятность того, что все места в очереди окажутся занятыми

,

где m - число мест в очереди, которое требуется определить. Полученное уравнение линейно относительно ^m.

Обозначим

.

Откуда

.

Подставляя численные значения, находим,

m=3.614.

Округляя до целого, определяем, что требуемая вероятность контроля обеспечивается при m  4.

СХЕМА ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ

Как было показано, имея размеченный граф состояний, легко составить систему алгебраических уравнений для предельных вероятностей. В некоторых случаях систему алгебраических уравнений удается решить заранее. В частности, это можно сделать для так называемой схемы гибели и размножения, граф состояний которой представлен на рис. 6.1. Граф этого типа соответствует процессу изменения численности популяции и используется в биологии для исследования динамики численности популяции, откуда и появилось название. Такие графы часто встречаются и в задачах теории массового обслуживания, поэтому есть смысл найти для них предельные вероятности состояний.

Рис. 2.

Интенсивностям переходов приписаны номера состояний, из которых исходят соответствующие стрелки. Граф характерен тем, что состояния системы можно вытянуть в цепочку так, что каждое среднее состояние связано с двумя соседними (например, уже рассмотренный граф состояний системы одноканальной системы с ожиданием) .

Запишем систему уравнений для предельных вероятностей состояний, поместив в левые части уравнений вероятности выхода из состояний, а в правые – вероятности входа в состояния:

Выразим вероятности всех состояний, начиная с p₁, через вероятность p₀. Для этого из первого уравнения найдем p₁, а затем последовательно будем исключать из уравнений вероятности предыдущих состояний: из второго уравнения, исключив p₁, найдем p₂, из третьего, исключив p₁ и p_{2 ,} найдем p₃ и т.д.

Повторяя эту процедуру, приходим к формуле

Полученный результат можно сформулировать в виде правила.

Для получения выражения для вероятности k-го состояния процесса гибели и размножения, начиная с k=1, надо составить дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей переходов слева направо, ведущих к k-му состоянию, а в знаменателе - произведение интенсивностей переходов справа налево, ведущих от k-го состояния, и умножить эту дробь на p₀.

Из нормировочного уравнения находится p₀:

.

При _i=0 – получаем процесс гибели. К этой модели приводит, например, задача определения надежности резервированных систем связи без восстановления. Полученные соотношения будут в дальнейшем использованы при анализе многоканальных систем обслуживания.

Схема гибели и размножения при бесконечном