2.7. Доминирование стратегий

Переход от игр с двумя стратегиями игроков к играм с тремя стратегиями приводит к значительному усложнению рассуждений. Дальнейшее увеличение числа стратегий игроков лишь увеличивает громоздкость игры. Поэтому, когда есть возможность свести рассматриваемую игру к другой, в которой игроки располагают меньшим числом стратегий, следует ей воспользоваться.

Одну из реализаций этой возможности дает нам так называемое доминирование стратегий.

В игре с матрицей

i-я стратегия I игрока доминирует его k-ю стратегию, если

h_i1≥ h_k1 , h_i2≥ h_k2 , … h_in≥ h_kn ,

(то есть элементы i-й строки матрицы выигрышей не меньше соответствующих элементов её k-й строки), а j-я стратегия игрока II доминирует его l-тую стратегию, если

h_1j≤ h_1l , h_2j≤ h_2l , … h_mj ≤h_ml ,

(то есть элементы j-го столбца матрицы выигрышей не больше соответствующих элементов её l-го столбца).

Так в игре с матрицей

первая и третья стратегии игрока I доминируют его вторую стратегию, а первая и вторая стратегии игрока II доминируют его третью стратегию.

При использовании доминируемой стратегии игрок I независимо от действий противника не может получить больше, чем он получил бы при использовании доминирующей стратегии. Следовательно, замена им доминируемой стратегии на доминирующую может только увеличить его выигрыш. Поэтому игрок I может не пользоваться своей доминируемой стратегией, как будто она вовсе не предусмотрена правилами игры. Таким образом, доминируемые стратегии можно в игре не учитывать, а соответствующие им строки матрицы выигрышей зачеркнуть.

По аналогичным причинам можно вычеркнуть из матрицы столбцы, соответствующие доминируемым столбцам игрока II.

Иногда применение такого приема отбрасывания доминируемых стратегий игроков приводит к быстрому решению игры.

Например, в игре с матрицей

первая стратегия игрока I доминирует его третью стратегию, и задача сводится к решению игры с матрицей выигрышей

,

в которой каждая из первых двух стратегий игрока II доминирует третью стратегию. Поэтому эту игру можно свести к игре с матрицей выигрышей

,

а решить такую игру довольно просто (см ранее) .

Определение 2.9. Стратегия X¹ игрока I строго доминирует стратегию X², если

Н(Х¹,у)> Н(Х²,у), y Y. (1.64)

Стратегия X² называется строго доминируемой.

Определение 2.10. Стратегия Y¹ игрока II строго доминирует стратегию Y², если

-Н(x,Y¹)> - Н(x, Y²), x X

или

Н(x,Y¹)< Н(x,Y²), x X (1.65)

Стратегия Y² называется строго доминируемой.

В матричной форме записи неравенства (1.64) и (1.65) записываются следующим образом:

X¹H_j>X²H_j, 1≤ j ≤ n;

X_iV^1T < H_iY^2T 1≤ i ≤ m;

где Н_i и Н_j — соответственно строка i и столбец j мат­рицы Н. В частности, чистая стратегия i¹ игрока I строго доминирует его чистую стратегию i², если для любого j выполняются неравенства, а чистая стратегия j¹ игрока II строго доминирует его чистую стратегию j², если для любого i выполняются не­равенства

h_i1j > h_i2j , 1≤ j ≤ n,

а чистая стратегия j¹ игрока II строго доминирует его чистую стратегию j², если для любого выполняются неравенства

h_i1j < h_i2j , 1≤ i ≤ m,

Определение 2.11. Спектром смешанной страте­гии игрока в конечной антагонистической игре называ­ется множество всех его чистых стратегий, вероятность применения которых согласно этой стратегии положи­тельна.

Примем следующее утверждение без доказательства. Если чистая стратегия одного из иг­роков содержится в спектре некоторой его оптимальной стратегии, то выигрыш этого игрока в ситуации, образо­ванной данной чистой стратегией и любой оптимальной стратегией другого игрока, равен значению конечной ан­тагонистической игры.

Определение 2.12. Игра Г' = <x°, у°, H'> назы­вается подыгрой игры Г = <x, у, H>, если х° x, у°у, а функция H' является сужением функции H на мно­жество х° х у°*). Множество чистых стратегий каждого из игроков в игре Г' содержится в множестве его чистых стратегий в игре Г, откуда следует, что множество сме­шанных стратегий каждого из игроков в игре Г' содер­жится в множестве смешанных стратегий игры Г.