2.7 Игры против природы – частный и важный случай матричной игры.

Иногда в качестве одного из игроков следует рассматривать природу. Необычность этого игрока и важность вопроса заставляет нас остановиться на «играх против природы» более подробно. Выражение «борьба с природой» давно приобрело права гражданства, а игра, по сути дела, точно математически описанной борьбой. Ясно также, что при изучении каждого явления, мы можем говорить о тех или иных действиях «стихийных сил», то есть таких сил, результаты действия которых нам неизвестны и, следовательно, не поддаются нашему контролю. В экономике фирме такой непознанной силой, характеризующейся значительностью и неопределенностью является спрос на продукцию. Конечно, у фирмы, как и у любого другого субъекта интересов, имеются и другие недостаточно изученные, непознанные проблемы, однако спрос является очевидной и понятной «силой природы», которую можно рассматривать как самостоятельного игрока. Непознанность интересов природы заставляет «реального» игрока (хозяйствующего субъекта) рассматривать ее с худшей стороны, со стороны противодействия, считая ее как бы «разумным существом». Следовательно, стратегией природы является противодействие её действиям реального игрока.

Таким образом, будем считать, что определение первых двух элементов игры – участников игры и их стратегий – в случае игры с природой может быть осуществлено.

С третьим элементом игры, с функцией выигрыша природы, дело обстоит значительно сложнее. В соответствии с ранее изложенными принципами построения игры мы должны были бы в каждой ситуации приписать природе некоторый выигрыш и считать, что природа выбирает свои действия на основе этой функции выигрыша, руководствуясь в конкурентной борьбе нанесением фирме максимального убытка. Ясно, что так механически толковать действия природы нельзя. Вместе с тем, руководствуюсь соображениями игрока, играющего против природы, поведение которой непознано, можно с достаточным основанием квалифицировать игру с природой как антагонистическую и считать тем самым выигрыш природы в каждой ситуации равным взятому с противоположным знаком выигрышу борющегося против природы игрока.

Действия природы подчинены определенным закономерностям. Все эти закономерности для игрока, выступающего против природы, можно разбить на три категории.

К первой категории относятся познанные игроком закономерности, которые существенны для каждой игры и потому должны быть учтены. Эти закономерности позволяют перечислить все стратегии природы в интересующей нас игре.

Вторую категорию составляют закономерности природы, которые для игры существенны, но игроком не познаны. Именно на основании этой закономерности природа в процессе игры выбирает ту или иную свою стратегию.

Наконец, к третьей категории относятся закономерности, которые для игры не существенны и никак в ней не отражены.

Таким образом, при моделировании игры с природой различие между познанными и непознанными закономерностями природы проявляются в том, что первые определяют правила игры и список всех стратегий природы, а вторые – выбор природой из этого списка некоторой определенной стратегии.

Этим определяется и исторический характер каждой из игровых моделей борьбы человека с природой. С течением времени, по мере увеличения познанных закономерностей природы и сокращения ее непознанных закономерностей, увеличивается количество правил игры и уменьшается число стратегий природы в этой игре. В идеальном случае, если все закономерности будут познаны, то число стратегий природы будет уменьшено до одной.

В результате борьба с природой будет сведена к наилучшему использованию познанных законов природы и будет моделироваться не при помощи теории игр, а каким-нибудь другим образом.

Из изложенного следует, что применение теории игр в экономике фирмы является некоторым этапом в познании деятельности фирмы. До тех пор пока выявлено мало закономерностей в деятельности фирмы, в играх, соответствующих изучаемым явлениям, природа имеет слишком большое число стратегий. После того как теоретические исследования выясняют некоторые детали данного явления, число стратегий уменьшается. Наступает период использования других методов математической экономики. Поэтому применимость теории игр ограничивается некоторым «средним возрастом» науки и ее «средней разработанностью». Это не означает, что теория игр останется без практических приложений.

Снова обратимся к функции выигрыша природы. Так как выступающий против природы игрок действует в соответствии со своими интересами, мы можем приписать число, характеризующее степень осуществления этих интересов. Тем самым, мы можем говорить о функции выигрыша игрока. Однако, выбор природы своей стратегии происходит по еще непознанным игроком закономерностям. Следовательно, если выступающий против природы игрок является осторожным (теория игр в ее современном состоянии рассматривает таких игроков), он должен при выборе своей стратегии исходить из предположения, что закономерность природы неизвестная игроку, приведет к действиям природы, наименее благоприятными для нашего игрока. Это же равносильно объявлению рассматривать игру антагонистической.

Эту стратегию природы, наименее благоприятную для игрока, в теории игр принято называть оптимальной стратегией природы.

Упражнения

1.Дана платежная матрица. С использованием доминирования привести данную матрицу к матрице более низкого порядка и решить игру

а)

б)

2. Решите следующую игру, используя графический метод

3. Решите графическим методом игру с платежной матрицей

а)

б)

4.Найдите значения матричных игр, матрицы которых указаны ниже. Найдите также оптимальные стратегии для обоих игроков.

а)

б)

в)

5. Матрица порядка mxn называется латинским квадратом, если каждая строка и каждый столбец её содержит все целые числа от 1 до m/ На примере 4х4 покажите, что игра, у которой матрица – латинский квадрат имеет цену .

.

6. Покажите, что цена игры является единственной.

7..Рассмотрим артиллерийскую дуэль орудия (игрок I) против орудия (игрок II), протекающую в следующих своеобразных условиях.

Каждый их игроков может произвести по своему противнику лишь один выстрел, и в притом в один из двух моментов времени: Р – ранний и П – поздний. Если игрок I стреляет раньше своего противника или одновременно с ним, то он поражает противника с вероятностью 0.6, после чего противник выбывает из строя. Если же он стреляет после своего противника, то поражает его с несколько большей вероятностью – 0.7. Аналогично, пусть игрок II, стреляя раньше игрока I или одновременно с ним, поражает его с вероятностью 0.5, а стреляя после него с вероятностью – 0.8. Поражения одновременно стреляющими игроками друг друга считаются независимыми событиями. Игрок I, поразивший орудие противника и сохранивший своё, получает единицу выигрыша, а его противник эту единицу теряет. В остальных случаях каждый из игроков получает нуль. Постройте матрицу выигрышей для данной антагонистической игры и найдите её решение.

8.Некто Петров солнечным летним утром отравляется на прогулку по Невскому проспекту, удовольствие от которой он склонен оценивать числом 10. Фраза «возможны осадки» в переданном прогнозе погоды на этот день приводит его к заключению, что природа располагает двумя стратегиями: 1) – дождь; 2) – сухо (зная некоторые закономерности природы, игрок I заранее исключает из числа её стратегий снег, мороз, наводнение и т.д.). Игрок I обдумывает свои стратегии: 1) - если он откажется от прогулки (в этом случае его удовольствие от прогулки вне зависимости от стратегии природы будет равняться нулю); 2) взять с собой зонтик (но в сухую погоду зонтик, который необходимо таскать с собой уменьшит его удовольствие от прогулки до 8, но под дождём прелесть прогулки оценим в 7 единиц; 3)идти, но плаща не брать (полное удовольствие при сухой погоде и очень скромное - единица при дожде). Необходимо составить матрицу выигрышей для игры и найти её решение в содержательном смысле.

9. Найдите оптимальные стратегии игроков и значения в игре с матрицей

10. Пусть существуют два предприятия под названиями «Заря» и «Луч», где цеха ширпотре­ба предполагают выпустить оригинальную елочную игрушку к Новому году. У предприятия «Заря» от преды­дущих сезонов остались штампы для изготовления птичек, а у предприятия «Луч» — для изготовления рыбок, что ограничивает планы этих предприятий игрушками соответствующей формы.

Каждое предприятие может выпустить игрушки в од­ном из вариантов: цветном и серебристом. Одновременный же выпуск предприятием игрушки в цветном и в серебристом вариантах с самого на­чала признан экономически невыгодным и поэтому не рассматривается

Как установили специалисты по прогнозированию спроса, найдет сбыт 1 тыс. шт. игру­шек всех четырех описанных видов, причем в случае вы­пуска игрушек двумя предприятиями спрос на них рас­пределится в соответствии с данными приведенной таблицы

	ЦП	ЦР	СП	СР
ЦП ЦР СП СР	X 60% 30% 10%	40% X 70% 50%	70% 30% X 80%	90% 50% 20% X

Будем считать, что руководство «Луча» своевременно узнает, какую игрушку намерена выпустить «Заря», а когда «Заря» узнает, какую игрушку решил выпустить «Луч», перестраиваться ей будет уже поздно.

Сформируйте матрицу выигрышей для предприятия «Заря», найдите седловую точку и значение игры. Сформулируйте решение в содержательных терминах. (Решение найдите прямым и графическим способами).

11. Предположим, предприятия занимаются решением той же задачи, что и в предыдущей задаче, с тем, однако, единственным отличием, что не только «Заря» узнает о продукции «Луча» только после выбора ею своей игрушки, но и «Луч» не может получить предва­рительной информации и вынужден принимать свое реше­ние, не зная о решении «Зари». Сформируйте матрицу выигрышей для предприятия «Заря», найдите оптимальные стратегии игроков и значение игры. Сформулируйте решение в содержательных терминах. (Решение найдите прямым и графическим способами).

12. Следующая детская игра носит название «Камень, мешок, ножницы». Два игрока одновременно изображают жестом один из трёх перечисленных в названии предметов. Если оба игрока изображают одинаковые предметы, то выигрыш каждого равен нулю. В остальных случаях «камень» выигрывает 1 против «ножниц» (камень ломает ножницы) и проигрывает 1 против «мешка» (мешок прячет камень), а «мешок» в свою очередь проигрывает 1 против «ножниц» (ножницы в мешке не утаишь). Сформируйте матрицу выигрышей для предприятия «Заря», найдите оптимальные стратегии игроков и значение игры. Сформулируйте решение в содержательных терминах.

13. Пусть имеется некоторое количество точек, причем некоторые пары точек соединены стрелками. Систему точек и соединяющих их стрелок будем называть сетью. Стратегия каждого из игроков состоит в назывании одной из точек. Если при этом называется одна и та же точка или называются точки, которые стрелкой не соединены, то выигрыш каждого из игроков в игре равен нулю. Если же называются точки, соединенные стрелкой, то единицу выигрывает тот игрок, который назвал точку, расположенную у острия стрелки.

а) 1 2

4 3

б) 1 2

4 3

14. Найдите седловые точки в матрицах

а)

в)

с)

d)

63