- •Глава 2. Введение в анализ
- •§ 1. Некоторые свойства множества действительных чисел
- •§ 2. Предел последовательности
- •§ 3. Предел функции
- •§ 4. Бесконечно малые и их свойства
- •§ 5. Основные теоремы о пределах
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •§ 8. Свойства непрерывных функций
- •§ 9. Сравнение функций. Асимптотические равенства
§ 3. Предел функции
Пусть функция определена в окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки . Точка может быть и бесконечно удалённой.
Определение 1 (Гейне). Число называется пределом функции в точке = , если для любой сходящейся к последовательности аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Пишут = , или при .
Если предел функции существует, то он единственный. Это следует из единственности предела последовательности.
Пример 1. Найти .
Решение. Пусть предел существует. Выберем две последовательности аргумента, сходящиеся к нулю:
= и = . Соответствующие последовательности значений функции следующие:
= =
= = 0, = = = 1,
т.е. обе последовательности являются постоянными. Поскольку пределом постоянной является сама постоянная (см. §2), то в точке = 0 мы получим два предела функции 0 и 1, чего не может быть. Следовательно наше предположение о существовании предела в точке = 0 не верно. Данная функция не имеет предела в нуле.
Определение 2 (Коши). Число называется пределом функции в точке = , если для любого > 0 существует число > 0 такое, что для всех O(,) имеет место неравенство < . ( > 0 O (,) O(,) O (,)).
Пример 2. Доказать, что = 1.
Решение. По определению Коши < , если = < . Если найдем для любого > 0 такое, что из второго неравенства будет следовать первое, то задача будет решена.
= 1 – = 2 < < .
Положим = , тогда для всех < выполняется неравенство < и задача решена.
Упражнение. Доказать, что = 0.
Замечание. Выше приведено два определения предела функции, однако определение должно быть единственным. Поэтому, если за определение взять формулировку Гейне, то формулировка Коши будет теоремой, и её можно доказать. И наоборот.
Если , оставаясь меньше , то предел функции в точке называется левым. Пишут = . Если , оставаясь больше , то предел называют правым. Пишут = . Правый и левый пределы называют односторонними пределами. Если , то функция в точке = предела не имеет, а имеет только односторонние пределы. Если = , то функция имеет в точке предел. И наоборот, если функция имеет предел в точке = , то она имеет равные между собой левый и правый пределы.
§ 4. Бесконечно малые и их свойства
Определение. Функция называется бесконечно малой в точке = , если её предел в этой точке равен нулю, = 0. С помощью , это можно записать так: > 0 > 0 ( O (,) || < ).
Доказательство. Докажем теорему для двух слагаемых и . По условию теоремы
< , если < ,
< , если < .
Пусть = min (,), тогда < и < , если < . Т.к. неравенствa одинакового смысла можно cкладывать, то имеем + < < , если < . Последняя запись означает, что = 0. Теорема доказана.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой в точке = функции на ограниченную в этой точке функцию есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Запись > 0, M > 0 ( O (,) < M) означает, что функция ограниченна в точке =. Запись > 0 > 0 (O(,) ||<) означает, что – бесконечно малая в точке = . В наименьшей из двух окрестностей точки = будут выполняться оба неравенства < M и || < . Перемножая неравенства, получим ||< O(,), = min(,). Последняя запись означает , что произведение есть бесконечно малая в точке = . Теорема доказана.
Теорема 3. Если — бесконечно малая в точке = и не обращается в нуль в некоторой окрестности этой точки, то = – бесконечно большая функция в этой точке. (Без доказательства).