- •Глава 2. Введение в анализ
- •§ 1. Некоторые свойства множества действительных чисел
- •§ 2. Предел последовательности
- •§ 3. Предел функции
- •§ 4. Бесконечно малые и их свойства
- •§ 5. Основные теоремы о пределах
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •§ 8. Свойства непрерывных функций
- •§ 9. Сравнение функций. Асимптотические равенства
§ 9. Сравнение функций. Асимптотические равенства
Пусть и – бесконечно малые функции в точке .
Определение 1. Если = 0, то функцию называют бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с и пишут = o() при .
Пример 1. Сравнить бесконечно малые = и = sin в точке = 0.
Решение. Найдём = = 0 1 = 0. Поэтому = o(sin) при 0.
Определение 2. Если = c 0, то и называют бесконечно малыми одного порядка малости и пишут = O() при . В частности, если = c 0, то говорят, что имеет k-й порядок малости по сравнению с при . Действительное число k называют порядком малости, а сравнивают чаще всего с функцией = – . Например, бесконечно малая в нуле функция = имеет четвертый порядок малости по сравнению с = . Действительно,
= = 3.
Определение 3. Если = 1, и называются эквивалентными, или асимптотически равными бесконечно малыми в точке . Пишут ~ при 0. Например, = 1 sin ~ при 0.
Пример 2. Доказать, что arcsin ~ при 0.
Решение. = = = 1. Что и требовалось доказать.
Пример 3. Доказать, что ln (1 + ) ~ при 0.
Решение. = = =
==== 1 ln (1 + ) ~ .
Заметим, что мы доказали третье равенство §6, приведённое в том параграфе без доказательства.
Можно доказать следующие свойства эквивалентных бесконечно малых в некоторой точке :
-
если ~ , то ~ ;
-
если ~ , а ~ , то ~ ;
-
если ~ , то = + o();
-
если = + o(), то ~ .
Определение 4. Если = + o, A 0, > 0, то выражение называется главной степенной частью бесконечно малой функции в точке = .
Пример 4. Выделить главную степенную часть бесконечно малых функций = ,
= в точке = 0.
Решение. Очевидно, ~ ~ ,
~ ~ , поэтому = + o (), = + o (). Главные степенные части: и .
Теорема. Если ~ , ~ при и существует, то = .
Доказательство.
= = =
= . Теорема доказана.
Теоремой часто пользуются при нахождении пределов функции.
Пример 5. Найти .
Решение. Воспользуемся теоремой и результатом примера 4.
= = 2.
Замечание. Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции в некоторой точке.