3. Волновая теория передачи по световодам.

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции. Поперечные составляющие напряжённости электрического и магнитного полей могут быть выражены через продольные составляющие E_z и H_z.

Рис. 5. К расчёту световода

Используем цилиндрическую систему координат, ось которой совместим с осью цилиндра. Для сердечника имеем следующую систему уравнений ():

,

где – поперечная составляющая волнового числа в сердцевине световода;  - коэффициент распространения в световоде; k₁ - волновое число среды с коэффициентом преломления n₁: .

Решение данных уравнений для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода функций Бесселя, имеющие конечные значения при r = 0.

Поэтому для r < a можно записать:

,

где A_m и B_m - постоянные интегрирования.

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

,

где – поперечная составляющая волнового числа в оболочке световода;  - коэффициент распространения в световоде; k₂ - волновое число среды с коэффициентом преломления n₂:

.

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при r   поле должно стремиться к нулю, следует при r > a использовать функции Ганкеля:

,

где C_m и D_m - постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования A_m , B_m , C_m , D_m определяются из граничных условий. Используем условие равенства тангенциальных составляющих напряжённостей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердцевина – оболочка (при r = a):

.

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

В общем случае данное уравнение имеет бесконечное множество решений , каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой. Здесь индексом m нумеруется порядок функции Бесселя (m – это число стоячих волн поля, укладывающихся по окружности), а n – номер корня, удовлетворяющего граничным условиям для данного порядка функции Бесселя (n – это число целых стоячих волн, укладывающихся по диаметру).

В световоде могут раздельно существовать симметричные () электрические волны типа и магнитные волны типа , обладающие круговой симметрией. Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа и невозможно. Эти волны в световоде существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие как , так и . Эти волны обычно называются смешанными (гибридными, дипольными) и обозначаются в форме , если поле в поперечном сечении напоминает поле , или в форме , если это поле по своей структуре ближе к волнам .

Обычно режим работы световода характеризуется обобщенным параметром V, включающим радиус сердечника, длину волны и коэффициенты преломления сердечника и оболочки. Этот параметр называется нормированной (характеристической) частотой. Он определяется следующим образом:

.

Определим критические частоты и длины волн световодов. В волоконных световодах при очень высоких частотах почти вся энергия поля концентрируется внутри сердцевины световода, с уменьшением частоты происходит перераспределение поля, и оно переходит в окружающее пространство. При определенной частоте f₀ – критической, или частоте отсечки, поле больше не распространяется вдоль световода и вся энергия рассеивается в окружающем пространстве.

Воспользуемся ранее приведенными соотношениями

(при r < a); (при r > a).

Имея ввиду, что

Получим:

.

Для определения критической частоты f₀ надо принять g₂ = 0 (при всех значениях g₂ > 0 поле концентрируется в сердцевине световода, а при g₂ < 0 оно выходит из сердцевины и процесс распространения по световоду прекращается). Условие g₂ = 0 соответствует по закону геометрической оптике углу полного внутреннего отражения, при котором отсутствует преломленная волна, а есть только падающая и отраженная волны. В данном случае имеем

.

Подставив сюда значения , определим критическую частоту f₀ световода: .

Умножим числитель и знаменатель на радиус сердцевины световод а, тогда

.

Соответственно критическая длина волны, передаваемая по световоду, определится

, где g₁a = p_mn.

Сравнивая эти формулы для и с ранее полученными методом геометрической оптики, видим полную тождественность. Отметим, что разница лишь в параметре , характеризующим тип волны.

Для определения критических частот различных типов волн рассмотрим корни ранее полученного выражения бесселевых функций для симметричных и – несимметричных волн. Эти равенства дают бесконечное число корней, значения которых приведены в таблице 2.

Значения корней p_nm

Таблица 2

m	N			Тип Волны
	1	2	3
0 1 1 2 2	2,405 0,000 3,832 2,445 5,136	5,520 3,832 7,016 5,538 8,417	8,654 7,016 10,173 8,665 11,620	E0n, H0n HE1n EH1n HE2n EH2n

Корни бесселевых функций () могут быть представлены в следующем виде. Поскольку при частоте отсечки , поэтому .

Тогда .

Сравнивая полученную формулу с формулой нормированной частоты видим, что они идентичны (), и отличие состоит лишь в том, что вместо произвольной величины , взят ее частный случай ₀.

Таким образом, каждая мода имеет нормированную частоту, которая определяет область ее существования.

При V<V₀ имеем f < f₀, т.е. частота меньше критической и волна по сердцевине волокна не распространяется, т.е. не существует. Область существования волны, имеющей нормированную частоту отсечки V > V₀, составляет f > f₀.

В световоде распространяется лишь один тип волны НЕ₁₁, когда соблюдается условие

0 < V < 2,405. При выборе частоты передачи или толщины сердечника световода исходят из этого условия. Выбирая параметры световода таким образом, чтобы не могли распространяться высшие моды, можно получить режим передачи только одной моды HE₁₁.

Такая ситуация реализуется при условии

Это условие можно выполнить, уменьшая либо разность показателей преломления, либо радиус сердечника. Для типичного случая (n₁ = 1,5 и n₂ = 1,497) и, следовательно, максимальное значение диаметра сердечника (2a) составит 6,8 мкм при  = 0,85 мкм и 12,8 мкм при =1,6мкм. Волна НЕ₁₁ используется при передачи по одномодовым световодам.

Достоинствами одномодовых систем являются весьма широкий диапазон частот и большая пропускная способность. Используются на междугородних линиях. К недостаткам одномодовых систем относятся: из-за малого диаметра сердечника волокна менее надежны и имеют большие потери на вводе в световод. Поэтому они используются в основном на междугородних ВОЛС, обеспечивая большую дальность связи и высокую пропускную способность.

Общее число передаваемых мод в световодах может быть определено по формулам:

- для ступенчатого профиля,

- для градиентного профиля.

В одномодовом режиме число мод получается равным 2.

.

Это объясняется тем, что мода волны НЕ₁₁ по сути это вырождение двух мод в одну, имеющих для круглой сердцевины одинаковые параметры распространения. В случае некруглости сердцевины оптического волокна, каждая из составляющей моды HE₁₁ имеет свои значения параметра распространения, что приводит к различным значениям скорости распространения.

Для многомодового оптического волокна диаметр сердцевины, как правило, составляет 50 мкм, а диаметр оболочки 125 мкм.

Рис. 6. Структура волны НЕ₁₁