Модуль II Молекулярна фізика, електрика

Приклад 1. Один моль ідеального двоатомного газу, який займає об'єм 12,3 л під тиском 2 am, нагрівається при постійсному об'ємі до тиску 3 am. Далі газ разширюється при постійному тиску до об'єму 24,6 л, після чого охолоджується при постійному об'ємі до початкового тиску і стискається при постійному тиску до початкового об'єму.

Визначити: 1) температури газу для характерних точок циклу,

2) термічний к. к. д. цикла.

Розв’язок. З умови задачі випливає, що графік даного циклу в системі координат V - р складається з двох ізохор і двох ізобар, розташованих так, що виходить прямокутник. Вершини прямокутника (характерні точки циклу) позначені цифрами 1, 2, 3 і 4. Введемо наступні позначення: найменший об’єм газу – V₁, найбільший - V₃; найменший тиск – р₁, найбільший – р_2. Температури газу в характерних точках циклу – Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. Для наочності на графіку нанесені чотири ізотерми, що відповідають цим температурам.

Рис.2

Температуру Т₁ газу в початковому стані визначимо з рівняння Клапейрона - Менделєєва p'V′ = νRT₁, де ν - число кіломолей газу. Звідси

Т₁ = р′V′/νR.

Числовий підрахунок будемо робити в одиницях системи СІ:

ν = 1 моль = 10^-3 кмоль;

R = 8,31·10³ Дж/кмоль·К;

V′ = 12,3 л = 1,23·10^-2м³;

V′′ = 24,6 л = 2,46·10^-2м³;

р′ = 2 ат = 2·9,81·10⁴ Н/м²;

р′′ = 3 ат = 3·9,81·10⁴ Н/м².

Зробивши підстановки числових значень у формулу, отримаємо

Т₁ = (2·9,81·10⁴·1,23·10^-2)/(10^-3·8,31·10³) = 290 К.

При ізохорному процесі тиск газу прямо пропорційний абсолютній температурі

р^′′/р′ = Т₂/Т₁,

звідки:

Т₂ = Т₁р′′/р′,

Т₂ = 290·3·9,81·10⁴/2·9,81·10⁴ = 435 К.

При ізобарному процесі об'єм газу прямо пропорційний абсолютній температурі V′′/V′ = T₃/T₂, звідки:

Т₃ = Т₂ V′′/V′ = Т₁ (р′′/р′)( V′′/V′) = 435(2,46·10^-2/1,23·10^-2) = 870 К.

Аналогічно V′′/V′ = T₄/T₁ і :

Т₄ = Т₁ V′′/V′ = 290(2,46·10^-2/1,23·10^-2) = 580 К.

Термічний (термодинамічний) к. к. д. будь-якого циклу визначається формулою

де Q₁ - повна кількість теплоти, отримана газом за один цикл від нагрівача; Q₂ - повна кількість теплоти, віддана газом за один цикл охолоджувачу (холодильнику).

Q₁ – Q₂ - кількість теплоти, яка перетворюється в роботу, якщо цикл здійснюється без втрат на теплопровідність, тертя і т. п. Термічний к. к. д. характеризує ступінь використання теплоти при перетворенні її в роботу або, іншими словами, досконалість циклу, за яким працює тепловий двигун. Кількість теплоти, отримана газом при ізохорному процесі (ізохора 1-2)

Кількість теплоти, отриманої газом при ізобарному процесі (ізобара 2-3)

Повна кількість теплоти, отримана газом від нагрівача

Таким самим чином знайдемо повну кількість теплоти, віддану газом охолоджувачу при ізохорному процесі (3-4) та ізобарному процесі (4-1)

В формулу термічного к.к.д.

підставимо значення Q₁ та Q₂

Скоротивши на ν і розділивши чисельник і знаменник дробу на C_v, отримаємо

Підставимо числові значення і обчислимо:

Термічний к.к.д. циклу можна визначити іншим шляхом. Так як Q₁ – Q₂ є кількість теплоти, що може бути перетворена в роботу, то, поклавши Q₁ – Q₂ = А, отримаємо інший вираз для термічного к. к. д.:

Робота циклу дорівнює різниці двох робіт - роботі А", виконаній газом при розширенні по ізобарі 2 - 3, та роботі А', здійсненій зовнішньою силою при стисненні газу по ізобарі 4 - 1

Як відомо, робота при ізобарному процесі рівна добутку тиску на приріст об'єму. Тому

Врахувавши це, отримаємо

Графічно робота циклу виражається площею прямокутника, вершини якого позначені цифрами 1, 2, 3, 4 (див. рис.2). Основа 1-4 прямокутника відповідає різниці об’ємів, висота 1 - 2 - різниці тисків.

Підставивши в останній вираз числові значення величин, виражені в одиницях системи СІ, і зробивши арифметичні дії, отримаємо

А = (3·9,81·10⁴ - 2·9,81·10⁴)·( 2,46·10^-2 - 1,23·10^-2) = 1,21·10³(Дж).

Тепер обчислимо за формулою η = А/Q₁ термічний к.к.д.

Обчислення термічного к.к.д. за обома різними формулами привело до одного і того ж результату.

Приклад 2. Азот, що займає при тискові р = 10⁵ Па об’єм V₁ = 10 л, розширюється вдвічі. Знайти кінцевий тиск і роботу, виконану газом при таких процесах:

а) ізобарному;

б) ізотермічному;

в) адіабатному.

Розв’язок. Заданий початковий тиск дозволяє рахувати газ ідеальним. Розглянемо графіки всіх процесів в координатах р – V (рис.3).

Очевидно, що робота буде тим більшою, чим вище пройде крива, тобто чим більший тиск діятиме під час процесу. Виходячи із молекулярно-кінетичної теорії, тиск визначається силою ударів молекул об стінки посудини і частотою ударів. Згідно з основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії

.

Рис.3

Це рівняння є наслідок того, що сила, яка діє на стінку посудини, визначається (по абсолютному значенню) числом ударів за деякий час і силою цих ударів.

При ізобарному 1 – 2 процесі розширення проходить при неперервному збільшенні температури, що відповідає збільшенню сили відповідних ударів, яких зазнає стінка. Частота ударів зменшується внаслідок збільшення об’єму так, що тиск залишається сталим.

При ізотермічному 1 – 3 процесі кінетична енергія молекул не змінюється і тиск зменшується тільки в результаті зменшення числа ударів, яких зазнає стінка.

При адіабатному 1 – 4 процесі кінетична енергія молекул, що віддається рухомому поршневі, не поповнюється зовні. Тому адіабатне розширення відбувається при більш різкому, ніж при постійній температурі, падінні тиску (зменшуються і частота ударів , і сила ударів).

Отже, робота при ізобарному процесі

А₁₂ = р₁(V₂ –V₁) = 1000 (Дж).

При ізотермічному процесі кінцевий тиск

р₂ = р₁ V₁/ V₂ = 0,5·10⁵ (Па).

Робота газу

При адіабатному процесі кінцевий тиск

Азот - двоатомний газ, тому γ = (і + 2)/і = 1,4. Тоді р₄ = 0,38·10⁵ (Па).

Робота, виконана газом при адіабатному розширенні, рівна зменшенню внутрішньої енергії:

А₁₄ = -ΔU₁₄ = (іm/2μ)R(T₁ – T₄).

Із рівняння Клапейрона-Мендєлєєва, записаного для початкового і кінцевого станів, отримуємо

Підставляючи ці вирази у формулу для роботи, знаходимо

А₁₄ = (і/2)( р₁V₁ – р₄V₂) = 600 (Дж).

Приклад 3. Два однакові позитивні заряди q₁ = q₂ = q знаходяться на віддалі 2l = 10,0 см один від одного. Знайти на прямій MN (рис.4), що є віссю симетрії цих зарядів, точку, в якій напруженість електричного поля має максимум.

Рис.4

Розв’язок. Спочатку вияснимо, чому така точка повинна існувати. Напруженість Е електричного поля в будь-якій точці прямої MN складається із напруженостей Е₁ і Е₂, створених в цій точці зарядами q₁ і q₂ :

Е = Е₁ + Е₂.

При цьому в точці О, що лежить між зарядами, сума векторів Е₁ і Е₂, однакових по модулю і протилежних по напрямку, рівна нулеві. В точках прямої MN, достатньо віддалених від зарядів, вектори Е₁ і Е₂ виявляться приблизно однаково направленими. Однак і в цьому випадку їх рівнодійна близька до нуля, оскільки обидва доданки, як це видно із формули для напруженості поля точкового заряду

,

швидко спадають при віддаленні від зарядів. Отже, на прямій MN по обидві сторони від зарядів повинні бути точки, в яких напруженість поля досягає максимуму.

Щоб розв’язати задачу, знайдемо напруженість поля Е в довільній точці А прямої MN. Як видно із рисунка,

Е = 2Е₁cos φ,

де φ – кут між Е₁ і віссю MN. Позначивши відрізок ОА через х і враховуючи співвідношення

отримаємо

.

Ця формула виражає модуль вектора Е в довільній точці прямої MN як функцію координати х цієї точки. Щоб знайти максимум функції, продиференціюємо її по х і прирівняємо до нуля похідну:

Звідси знаходимо

У випадку коли б в задачі ставилось питання дослідити функціональну залежність результуючої напруженості від віддалі х, то досить побудувати графік залежності Е(х), сумістивши початок координат з точкою О.