Модуль IV Коливання. Оптика

Приклад 1. Фізичний маятник є стержнем довжиною l = 1 м і масою 3m₁ з прикріпленим до одного із його кінців обручем діаметром d = 0,5 l і масою m₁. Горизонтальна вісь Оz маятника проходить через середину стержня і перпендикулярно до нього. Визначити період Т коливань такого маятника.

Розв'язок. Період коливань фізичного маятника визначається за формулою

,

де I – момент інерції маятника відносно осі коливань; m – його маса, l_c – віддаль від центра мас маятника до осі коливань.

Момент інерції маятника рівний сумі моментів інерції стержня I₁ і обруча I₂:

I = I₁ + I₂.

Момент інерції стержня відносно осі, що перпендикулярна до

Рис. 8

Рис.8

стержня і проходить через його центр мас, визначається за формулою

I₁ = . В такому випадку m = 3m₁ і

I₁ = .

Момент інерції обруча знайдемо, використавши теорему Штейнера I = I₀ + ma², де I – момент інерції відносно довільної осі; I₀ – момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас паралельно до заданої осі; а – віддаль між вказаними осями (див. рис.8).

Застосувавши теорему Штейнера до обруча, отримаємо

Тоді момент інерції маятника відносно осі обертання рівний

Віддаль l_c від осі маятника до його центра мас рівна

або .

Підставивши у формулу періоду коливань математичного маятника вирази для моменту інерції, віддалі l_c та маси маятника (m = 3m₁ +

+ m₁ = 4m₁), знайдемо його значення

= .

Після обчислення отримаємо Т = 2,17 с.

Приклад 2. На щілину нормально падає пучок монохроматичного світла. Розміщена за щілиною лінза із фокусною віддаллю f = 2,00 м проектує на екран дифракційну картину у вигляді світлих і темних смуг, що чергуються. Ширина центральної світлої смуги b = 5,0 см. Як потрібно змінити ширину щілини, щоб центральна смуга зайняла весь екран при будь-якій ширині останнього?

Розв’язок. Зображена на рис. 9 крива показує розподіл інтенсивності світла на екрані. Центральна світла смуга розміщена між двома

Рис. 9

мінімумами першого порядку. Її ширина b залежить від кута дифракції φ, що відповідає першому мінімуму. В свою чергу кут φ зв’язаний із шириною щілини а формулою

аsinφ = kλ,

де k = 1. Так як при зміні ширини щілини від а₁ до а₂ величини k і λ залишаються сталими, то із наведеної формули випливає:

(1)

де φ₁ і φ₂ – кути перших дифракційних мінімумів, що відповідають розмірам щілини а₁, а₂.

Із умови видно, що кут φ₁ досить малий. Тому sin φ₁ ≈ tg φ₁ = b/2f.

З іншої сторони, щоб центральна смуга займала весь екран при будь-якій ширині останнього, повинна виконуватися умова φ₂ = π/2, sin φ₂ =1. Підставивши знайдені значення sin φ₁, sin φ₂ в (1), отримаємо

Таким чином, ширину щілини слід зменшити у 40 разів.

Завдання до розрахунково-графічної роботи (модуль IV)

1. Частинка коливається вздовж осі ОХ згідно з законом

х = А cos(ωt + φ₀). Побудувати графіки функцій

1. зміщення х;

2. швидкості v;

3. прискорення а

в межах двох періодів залежно від часу t.

а) А = 2 см, Т = 0,5 с, φ₀ = 30⁰.

б) А = 3 см, Т = 1,5 с, φ₀ = 60⁰.

в) А = 2,5 см, Т = 2 с, φ₀ = 120⁰.

г) А = 5 см, Т = 4 с, φ₀ = 45⁰.

д) А = 4 см, Т = 0,05 с, φ₀ = 150⁰.

2. Матеріальна точка масою m здійснює гармонічне коливання, рівняння якого має вигляд х = А sin(ωt + φ₀). Написати рівняння для сили, що спричиняє це коливання, і побудувати на одному графіку криві залежності сили та зміщення від часу.

а) m = 5г, А = 2 см, Т = 0,5 с, φ₀ = 30⁰.

б) m = 7г, А = 3 см, Т = 1,5 с, φ₀ = 60⁰.

в) m = 3г, А = 2,5 см, Т = 2 с, φ₀ = 120⁰.

г) m = 10г, А = 5 см, Т = 4 с, φ₀ = 45⁰.

д) m = 15г, А = 4 см, Т = 0,05 с, φ₀ = 150⁰.

3. Тіло масою m здійснює коливання , що описується рівнянням х = А sin(ωt + φ₀). Побудувати графіки залежності кінетичної, потенціальної та повної енергії тіла від часу.

а) m = 5г, А = 2 см, Т = 0,5 с, φ₀ = 30⁰.

б) m = 7г, А = 3 см, Т = 1,5 с, φ₀ = 60⁰.

в) m = 3г, А = 2,5 см, Т = 2 с, φ₀ = 120⁰.

г) m = 10г, А = 5 см, Т = 4 с, φ₀ = 45⁰.

д) m = 15г, А = 4 см, Т = 0,05 с, φ₀ = 150⁰.

4. Знайти амплітуду А і початкову фазу φ гармонічного коливання, що є результатом додавання однаково направлених коливань х₁ = А₁ sin(ωt + φ₁) і х₂ = А₂ sin(ωt + φ₂). Записати рівняння результуючого коливання. Застосувати і представити метод векторних діаграм.

а) А₁ = 2 см, А₂ = 3 см, Т = 0,5 с, φ₁ = 30⁰, φ₂ = 90⁰.

б) А₁ = 5 см, А₂ = 3 см, Т = 1,5 с, φ₁ = 60⁰, φ₂ = 120⁰.

в) А₁ = 3 см, А₂ = 6 см, Т = 2 с, φ₁ = 120⁰, φ₂ = 60⁰.

г) А₁ = 4 см, А₂ = 5 см, Т = 4 с, φ₁ = 45⁰, φ₂ = 60⁰.

д) А₁ = 6 см, А₂ = 4 см, Т = 0,05 с, φ₁ = 150⁰, φ₂ = 90⁰.

5. Однорідний стержень масою m і довжиною l здійснює коливання навколо горизонтальної осі, що проходить через верхній кінець стержня. Дослідити залежність частоти коливань стержня від положення осі коливань, що зміщується вздовж стержня до його середини. Побудувати графік залежності частоти коливань від віддалі, що визначає положення осі коливань відносно центра стержня.

а) l = 1,2 м, m = 2,0 кг.

б) l = 1,5 м, m = 3,0 кг.

в) l = 1,3 м, m = 2,5 кг.

г) l = 1,4 м, m = 4,0 кг.

д) l = 1,1 м, m = 2,6 кг.

6. Побудувати графік згасаючого гармонічного коливання, частота якого ν, початкова амплітуда А₀ та логарифмічний декремент згасання χ.

а) А₀ = 5см, ν = 10 Гц, χ = 0,01.

б) А₀ = 7,5 см, ν = 12 Гц, χ = 0,015.

в) А₀ = 10см, ν = 15 Гц, χ = 0,02.

г) А₀ = 8см, ν = 20 Гц, χ = 0,025.

д) А₀ = 11 см, ν = 5 Гц, χ = 0,03.

7. Важок массою m, підвішений на вертикальній пружині, здійснює згасаючі коливання з коефіцієнтом згасання β. Жорсткість пружини k. Побудувати графік залежності амплітуди А вимушених коливань важка від частоти ω зовнішньої періодичної сили, якщо відомо, що її максимальне значення F₀. Для побудови графіка знайти значення амплітуди для частот від ω = 0 до ω = 2 ω₀ з кроком 0,1 ω₀, де ω₀ - частота власних коливань системи.

а) m = 0,2 кг, β = 0,75 с^-1, k = 0,5 кН/м, F₀ = 0,98 Н.

б) m = 0,3 кг, β = 0,5 с^-1, k = 0,7 кН/м, F₀ = 1,96 Н.

в) m = 0,1 кг, β = 0,75 с^-1, k = 0,6 кН/м, F₀ = 1,96 Н.

г) m = 0,4 кг, β = 0,5 с^-1, k = 1 кН/м, F₀ = 0,98 Н.

д) m = 0,3 кг, β = 0,6 с^-1, k = 0,5 кН/м, F₀ = 1,96 Н.

8. Дослідити залежність максимальної швидкості фотоелектронів від довжини хвилі світлового потоку на фотокатод у явищі зовнішнього фотоефекту, якщо відомо речовину, з якої виготовлено фотокатод. Побудувати графік цієї залежності. З графіка знайти червону межу фотоефекту.

а) цезій;

б) калій;

в) літій;

г) натрій;

д) цинк.

9. Дослідити залежність максимальної швидкості фотоелектронів від частоти хвилі світлового потоку на фотокатод у явищі зовнішнього фотоефекту, якщо відомо речовину, з якої виготовлено фотокатод. Побудувати графік цієї залежності. З графіка знайти червону межу фотоефекту.

а) вольфрам;

б) нікель;

в) платина;

г) рубідій;

д) молібден.

10. Для визначення сталої Планка можна виміряти залежність затримуючої напруги U_з, потрібної для припинення струму у фотоелементі, від довжини хвилі світла, що падає на фотокатод. Були отримані такі значення:

а) λ,Å…… 2310 1880 1580 1430 1250

U_з,В.... 0,53 1,77 3,01 3,83 5,1

б) λ,нм…… 248 236 224 197 179 160

U_з,В.... 0,38 0,62 0,91 1,64 2,29 3,06

в) λ,мкм… 0,278 0,326 0,38 0,469 0,577

U_з,В.... 2,64 1,96 1,42 0,78 0,29

г) λ,Å…… 4760 4170 3570 3230 2970

U_з,В.... 0,41 0,79 1,3 1,68 2,02

д) λ,мкм… 0,179 0,210 0,250 0,268 0,306

U_з,В.... 2,98 1,98 1,06 0,74 0,18

Визначити сталу Планка за цими даними, побудувавши графік залежності U_з = f(ν). Заряд електрона вважати відомим. З якого матеріалу виготовлено фотокатод елемента?

11. Для визначення сталої Планка можна виміряти залежність затримуючої напруги U_з, потрібної для припинення струму у фотоелементі, від частоти хвилі світла, що падає на фотокатод. Були отримані такі значення:

а) ν,Гц…… 1,3·10¹⁵ 1,6·10¹⁵ 1,9·10¹⁵ 2,1·10¹⁵ 2,4·10¹⁵

U_з,В….... 0,52 1,78 3,02 3,81 5,11

б) ν,Гц… 1,21·10¹⁵ 1,27·10¹⁵ 1,34·10¹⁵ 1,52·10¹⁵ 1,68·10¹⁵

U_з,В...... 0,37 0,62 0,91 1,66 2,28

в) ν,Гц…… 1,08·10¹⁵ 0,92·10¹⁵ 0,79·10¹⁵ 0,64·10¹⁵ 0,52·10¹⁵

U_з,В... 2,62 1,98 1,41 0,79 0,28

г) ν,Гц…… 6,3·10¹⁴ 7,2·10¹⁴ 8,4·10¹⁴ 9,3·10¹⁴ 10,1·10¹⁴

U_з,В....... 0,42 0,77 1,31 1,66 2,03

д) ν,Гц…… 0,98·10¹⁵ 1,12·10¹⁵ 1,20·10¹⁵ 1,43·10¹⁵ 1,68·10¹⁵

U_з,В….... 0,20 0,72 1,07 1,98 2,96

Визначити сталу Планка за цими даними, побудувавши графік залежності U_з = f(ν). Заряд електрона вважати відомим. З якого матеріалу виготовлено фотокатод елемента?

12. На щілину завширшки а падає нормально плоска світлова хвиля, довжина якої λ. Інтенсивність світла у різних точках екрану визначається за формулою

,

де І₀ – інтенсивність центрального максимуму, який відповідає φ = 0. Встановити відношення інтенсивності світла у максимумах першого,другого і третього порядків до інтенсивності світла І₀ у центральному максимумі. Побудувати графік кутового розподілу І_φ залежно від sinφ інтенсивності світла в дифракційній картині від однієї щілини на екрані, установленому достатньо далеко.

а) а = 10 мкм, λ = 0,6 мкм,

б) а = 8 мкм, λ = 0,5 мкм,

в) а = 12 мкм, λ = 0,6 мкм,

г) а = 12 мкм, λ = 0,8 мкм,

д) а = 10 мкм, λ = 0,4 мкм.

13. Абсолютно чорне тіло має температуру Т. Знайти довжину хвилі λ_m, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювання. Побудувати графік залежності спектральної енергетичної світності r_λT від довжини хвилі, взявши точки 0,25 λ_m; 0,5 λ_m; 0,75 λ_m; λ_m; 1,25 λ_m; 1,5 λ_m; 2 λ_m; 2,5 λ_m; 3 λ_m.

а) Т = 1000 К;

б) Т = 1500 К;

в) Т = 2000 К;

г) Т = 2500 К;

д) Т = 3000 К.

14. Побудувати графік залежності спектральної густини випромінювальної здатності r_νT абсолютно чорного тіла, що має температуру Т, від частоти ν, попередньо знайшовши частоту хвилі, на яку припадає максимум випромінювальної здатності. Для побудови графіка взяти точки 0,25 ν_m; 0,5 ν_m; 0,75 ν_m; ν_m; 1,25 ν_m;

1,5 ν_m; 2 ν_m; 2,5 ν_m; 3 ν_m.

а) Т = 1200 К;

б) Т = 1500 К;

в) Т = 1800 К;

г) Т = 2300 К;

д) Т = 2800 К.