III тип задач

1. Тонкий стержень массой m и длиной L подвешен за один конец и может вращаться без трения. К той же оси подвешен на нити длиной шарик такой же массой m. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар абсолютно упругий.

Р

ешение

Рассмотрим систему соударяющихся тел (рис. 4.4). Внешними по отношению к этой системе являются силы тяжести, реакции оси и натяжения нити. Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси в момент удара равны нулю. Следовательно, момент импульса этой системы не изменяется в результате удара:

(1)

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса шарика

. (2)

Момент импульса системы после удара, с учетом того, что шарик останавливается, представляет собой только момент импульса стержня.

, (3)

где I – момент инерции стержня относительно оси вращения.

По теореме Штейнера

.

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим

. (4)

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы не изменяется, т.е.

,

после преобразования

. (5)

Решение системы уравнений (4) и (5) дает: .

IV тип задач.

1. Маховик в виде диска массой m и радиусом R был раскручен до частоты n. Под влиянием трения маховик остановился, сделав N оборотов. Найти момент сил трения, считая его постоянным.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей работу с изменением кинетической энергии

, (1)

где - момент инерции маховика; и - начальная и конечная угловые скорости.

Так как , то

. (2)

Работа постоянного момента сил трения, действующего на маховик, определяется формулой

, (3)

где - угол поворота тела до остановки.

Приравнивая выражения (2) и (3), получим

,

откуда

.

Знак “минус” показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

2. Горизонтально расположенный однородный диск массой М и радиусом R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которого может скользить без трения небольшое тело массой m. К телу привязана нить, пропущенная через полуось диска вниз.

Первоначально тело находилось на краю диска, и вся система вращалась с угловой скоростью . Затем к нижнему концу нити приложили силу F, с помощью которой тело подтянули к оси вращения. Найти: а) угловую скорость системы в конечном состоянии; б) работу, которую совершила сила F.

Решение

По закону сохранения момента импульса

, (1)

где - момент инерции диска; mR² – момент инерции тела, находящегося на краю диска; - угловая скорость системы в конечном состоянии.

Откуда, после преобразования, получим

. (2)

Работу, которую совершила сила F, найдем, используя изменение кинетической энергии вращения системы:

.

Подставляя в эту формулу выражение для момента инерции диска

.

С учетом (2), получим окончательно

.