- •Математические методы в психологии
- •Тема 1. Дискретный вариационный ряд и его основные показатели Выбор варианта задания
- •Методика выполнения задания 1
- •Тема 2. Статистический анализ выборочных средних двух выборок Методика выполнения задания 2
- •Процедура проверки статистических гипотез заключается в следующем.
- •-Критерий Стьюдента
- •Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для независимых выборок измерений
- •Алгоритм расчета -критерия Стьюдента для зависимых выборок измерений
- •-Критерий Манна-Уитни
- •Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни
- •Критерий знаков
- •Алгоритм расчета критерия знаков
- •1. Подсчитать количество нулевых реакций и исключить их из рассмотрения. В результате уменьшится на количество нулевых реакций.
- •Задание 2
- •Тема 3. Вычисление и анализ коэффициента ранговой корреляции Методика выполнения задания 3 Выполнить ранжирование по следующему алгоритму
- •Алгоритм расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена
- •Задание 3
- •Тема 4. Многомерное шкалирование
- •Тема 5. Кластерный анализ
- •Тема 6. Уравнение линейной регрессии Методика выполнения задания 6
- •1. Анализ статистической взаимосвязи между двумя рядами
- •2. Построение модели парной регрессии
- •Оформление задания
- •Варианты к заданию 6
- •Математическое моделирование
- •Классификация по целевому назначению
- •Классификация по типу задач
- •Классификация по форме реализации
- •Типы задач линейного программирования
- •Тема 7. Каноническая задача линейного программирования
- •Стандартная задача линейного программирования
- •Общая задача линейного программирования
- •Графический метод решения задач линейного программирования
- •Задание 7
- •Тема 8. Нелинейное программирование. Понятие о задаче математического программирования. Оптимизационная задача на условный экстремум
- •Задание 8
- •Библиографический список
2. Построение модели парной регрессии
Построение уравнения регрессии (1) сводится к оценке (расчету) ее параметров (коэффициентов) и Для оценки параметров уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК). Сущность МНК заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений отклика от теоретических, вычисленных по модели. Сказанное можно записать в следующем виде:
(7)
Нахождение коэффициентов уравнения регрессии по МНК производится из системы нормальных уравнений. Данную систему получают путем приравнивания нулю всех частных производных функции . В качестве аргументов функции рассматриваются коэффициенты уравнения регрессии.
Для уравнения (4) формула (7) примет следующий вид :
(8)
Дифференцируя функцию из (5) по параметрам и , получаем
Отсюда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
(9)
Решая систему (9) относительно и получаем следующие формулы:
где соответствующие средние.
Анализ качества модели парной регрессии
Под анализом понимается оценка аппроксимации (качества) или проверка адекватности построенной модели. Для оценки аппроксимации используются такие характеристики, как средняя ошибка аппроксимации и критерий (критерий Фишера)
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений отклика от его фактических – вычисляется по формуле:
где – наблюдаемые значения;
Допустимый предел значений - не более 8-10 %.
Вычисление характеристики осуществляется с использованием следующих формул:
(10)
(11)
(12)
где эмпирические (наблюдаемые) значения ; расчетные значения ; среднее значение, вычисленное по ряду количество коэффициентов при переменной в уравнении регрессии (для уравнения вида (1) – ).
Оценка аппроксимации (адекватность модели) уравнения регрессии осуществляется с помощью -критерия следующим образом. На основе заданных уровня
значимости (обычно, или ), чисел степеней свободы и определяется табличное значение из специальных таблиц, в частности (прил., табл. А4). Если то модель считается адекватной. В противном случае модель неадекватная, т. е. зависимость между случайными величинами и не является линейной.