- •Частный институт управления и предпринимательства
- •Неопределенный интеграл Минск 2007
- •М 54 Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. По-собие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 28 с.
- •Ключевые понятия
- •Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •Задачи и упражнения
- •Ключевые понятия
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи и упражнения
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Лекция 1
- •Лекция 2
- •Содержание
- •Метельский Василий Михайлович высшая математика Неопределенный интеграл
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского 1, корп. 3.
Задачи и упражнения
1. Применяя метод непосредственного интегрирования, найти следующие интегралы:
a) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
2. Применяя метод замены переменной, найти следующие интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м) .
3. Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) .
Лекция 2. НеоПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ
(продолжение)
План
-
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
-
Интегрирование простейших рациональных дробей.
-
Интегрирование простейших иррациональных функций.
-
Интегрирование тригонометрических функций.
Ключевые понятия
Многочлен. Рациональная дробь. Иррациональная функция. Тригонометрическая функция.
-
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен .
-
Интегралы вида вычисляются следующим образом. Из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:
где , если и , если .
Далее сделаем подстановку , откуда , . Получим
.
Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
.
Сделаем подстановку . Тогда и
.
Возвращаясь к переменной х, получим
.
-
Интегралы вида вычисляются аналогично интегралам пункта 1 путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. В результате исходный интеграл сводится к одному из табличных интегралов вида 12, 13.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Преобразуем квадратный трехчлен следующим образом: . Получим . Положим , тогда , . В результате получаем
=. Переходя к переменной х, получим
.
-
Интегралы вида и вычисляются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и последующей замены переменной. Затем полученный интеграл разбивается на два: первый из этих интегралов можно вычислить, воспользовавшись формулами (2), (3), а второй интеграл является табличным.
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Так как , то по-ложим . Тогда и = [полученный интеграл разобьем на два] = . Второй из этих ин-тегралов – табличный: . Для нахождения первого воспользуемся следующим преобразованием дифференциала: . В результате получим = [воспользуемся формулой (3)] = . Окончательно имеем , где . Возвращаясь к переменной х, получим
.
-
Интегрирование простейших рациональных дробей
Определение. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной – в противном случае ().
Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:
[положим тогда ] =
[возвращаемся к переменной x] =;
[ ] = [возвращаемся к переменной x] =.
Пример 4. Вычислить интеграл .
Решение. [ сделаем замену ] = .
Интегралы от рациональных дробей 3), 4) вычисляются аналогично интегралам , рассмотренным в п. 1.