- •Частный институт управления и предпринимательства
- •Неопределенный интеграл Минск 2007
- •М 54 Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. По-собие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 28 с.
- •Ключевые понятия
- •Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •Задачи и упражнения
- •Ключевые понятия
- •Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи и упражнения
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Лекция 1
- •Лекция 2
- •Содержание
- •Метельский Василий Михайлович высшая математика Неопределенный интеграл
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского 1, корп. 3.
-
Интегрирование простейших иррациональных функций
1. Интегралы вида , где – рациональная функция; – целые числа, находятся с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное чисел (т.е. n = НОК()).
Пример 5. Вычислить интеграл .
Решение. Данный интеграл можно записать в виде =. Имеем: , следовательно НОК. Поэтому полагаем , . Получим [аналогичный интеграл вычислен в примере 4 лекции 1] = +
[возвращаемся к переменной х: ] = .
2. Интегралы вида
, где – рациональная функция; – целые числа, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное чисел .
Пример 6. Вычислить интеграл .
Решение. [в данном случае , следовательно, НОК и откуда ] = [для вычисления последнего интеграла в числителе дроби вычтем и прибавим единицу, а затем разделим почленно числитель на знаменатель] = [первый из полученных интегралов разобьем на два, а второй вычислим, воспользовавшись преобразованием дифференциала ] = [так как ] = .
-
Интегрирование тригонометрических функций
-
Интегралы вида , где R – рациональная функция от и , приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки (универсальная тригонометрическая подстановка).
Действительно, , , , . Тогда
,
где – рациональная функция от переменной .
Пример 7. Вычислить интеграл .
Решение. Положим . Тогда , , . Следовательно:
[переходя к переменной x] =.
-
Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул:
.
Пример 8. Найти интеграл .
Решение. Так как
, то
.
-
Интегралы вида , где и – четные числа, находятся с помощью формул:
; .
Если одно из чисел или – нечетное или оба этих числа – нечетные, то интеграл вычисляется непосредственно, путем отделения от нечетной степени одного множителя и введения новой переменной: , если – нечетное; , если – нечетное.
Пример 9. Найти интеграл .
Решение.
.
Пример 10. Найти интеграл .
Решение.
[так как ] = =[замена ] = =.
Задачи и упражнения
1. Найти интегралы:
a) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м) .
2. Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
-
Найти интегралы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) е)
ж) з) ; и)
к) ; л) .
Литература
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А. А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.