3.2.Квантування поля.

Покажемо, що електромагнітне поле всередині резонатора формально можна розглядати як ансамбль незалежних гармонічних осциляторів. Помножимо перше рівняння (3.11) скалярно на і проінтегруємо по всьому об’єму резонатора. З врахуванням (3.10) отримаємо :

(3.15)

Аналогічні операції проробимо з другими рівняннями (3.11), але помножимо скалярно на . Отримаємо:

(3.16)

З цих рівнянь випливає, що класичне електромагнітне поле в резонаторі можна описати або векторними полями , або динамічними змінними . Повна енергія (гамільтоніаí) поля виражається формулою:

(3.17)

Підставляючи сюди замість і їх розклади ( 3.11) отримаємо:

(3.18)

тобто суму гамільтоніанів гармонічних осциляторів (3.1). Динамічні змінні є канонічно-спряженими. В цьому можна переконатися, розглянувши рівняння Гамільтона:

(3.19)

Вони еквівалентні рівнянням (3.12), (3.13) отриманих безпосередньо з рівнянь Максвела. При квантуванні електромагнітного поля припускається, що формально еквівалентні імпульсу і координаті квантового гармонічного осцилятора. Оператори цих динамічних змінних задовольняють комутаційним співвідношенням:

. (3.20)

Подібно до того, як було зроблено у лекції 2 введемо оператори народження і знищення

(3.21)

Комутаційні співвідношення для них безпосередньо випливають з (3.20)

(3.22)

Розв’язуючи (3.21) відносно і , знаходимо:

(3.23)

Гамільтоніан можна виразити через оператори народження і знищення, підставивши (3.23) в (3.18) і замінивши на у відповідності з (3.20) . Це приведе до виразу:

(3.24)

який показує, що електромагнітне поле в резонаторі можна зобразити у вигляді суми квантових гармонічних осциляторів.

3.3.Квантування плоских хвиль.

Вище йшла мова про резонатори довільної форми. Для наступних викладів корисно знати вид операторів поля у частковому випадку одномірного резонатора, що використовується практично в лазерній техніці. Очевидно, що пристрої з нескінченними поперечними січеннями практично не реалізуються, але хвилі, дуже близькі до плоских, можуть поширюватися в оптичних резонаторах з вгнутими дзеркалами.

Для визначеності розглянемо –ту моду резонатора, об’єм якого рівний , а довжина напрямку осі рівна . Нехай вектори електричного і магнітного полів направлені вздовж осей та відповідно. Рівнянням (3.3), (3.4) і (3.7) задовольняють власні функції:

(3.25)

де ціле число, Поля відповідних мод визначаються виразами:

(3.26)

або, якщо скористатися (3.23), отримаємо:

(4.27)

Ці вирази знаходять застосування при розгляді спонтанних та індукованих переходів.