- •1.1. Рівняння Шрединґера
- •1.7. Основні постулати квантової механіки.
- •1.8. Принцип невизначеності.
- •Лекція 2 Квантовий гармонічний осцилятор
- •2.1.Гармонічний осцилятор.
- •2.3.Хвильові функції.
- •2.3.Оператори породження і знищення.
- •Лекція 3 Загальна теорія резонаторів
- •Розклад електромагнітного поля по модах резонатора.
- •3.2.Квантування поля.
- •3.3.Квантування плоских хвиль.
- •3.4.Густина станів і випромінювання абсолютно чорного тіла
3.4.Густина станів і випромінювання абсолютно чорного тіла
Число мод з резонансними частотами в межах від до залежить в загальному випадку від геометрії резонатора. Проте, коли характерні розміри його великі в порівнянні з довжинами хвиль розглядуваного випромінювання, ця залежність стає несуттєвою, і густина мод станів не залежить від форми резонатора. Обмежившись саме цим випадком, виберемо резонатор у вигляді кубу зі сторонами, які рівні Залежність поля довільної форми від координат виражається функцією Користуючись періодичними граничними умовами з періодом по кожній з декартових координат, отримуємо наступні обмеження на компоненти вектора
(3.28)
де – цілі числа.
Ґрунтуючись на рівняннях Максвела , можна отримати
Із співвідношення (3.28) випливає, що Отже, кожній моді відповідає об’єм в і – просторі. Число мод , модуль хвильового числа лежить в межах від 0 до , легко знайти, поділивши повний об’єм кулі в просторі на об’єм що приходиться на одну моду, і помноживши результат на 2, так як кожному значенню відповідають два направлення поляризації поля. В результаті маємо або у відповідності з співвідношенням де показник заломлення,
(3.29)
Це є число мод з частотами від 0 до що припадають на одиницю об’єму резонатора. Спектральна густина станів рівна:
(3.30)
Спектральна густина випромінювання чорного тіла (рівноважне випромінювання) рівна : де Ймовірність того, що осцилятор знаходиться в стані з енергією у відповідності з розподілом Больцмана пропорційна але при обчисленні середніх значень в квантово-механічному розгляді інтеграли заміняються сумами
(3.31)
Сума, що стоїть у знаменнику є геометричною прогресією
(3.32)
де
Чисельник (3.31) —похідна знаменника по , взята із протилежним знаком.
Отже,
(3.33)