RII_OCR[1]

СБОРНИК

ИНДИВИДУАЛЬНЫХ

ЗАДАНИЙ

ПО ВЫСШЕй. МАТ-ЕМАТИ КЕ

в трех частях

Под общей редакци:ей доктора фи:зи:ко-математи:чески:х наук,

профессора А. П. Рябушко

Часть 2

Допущено Министерствам народного образования Беер

в качестве учебного пособия

для студентов инженерно-техни'lеских

специальностей вузов .

МИНСК

«Вышэйшая школа,.

1991

ББК 22.11я73 С23

УДК 51 (075.8)

А в т о р ы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть

р е ц е н з е н т ы: кафедра высшей математики Московского энерге­

тического института; зав. кафедрой высшей математики Минского

радиотехнического ииститута, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас

Сборник индивидуальных заданий по высшей ма­

С23 тематике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2/А. п. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть;

Под общ. ред. А. П. Рябушко.- Ми.: Выш. шк.,

1991.-352 с.: ил.

ISBN 5-339-00327-2.

Книга является составной частью комплекса учебиых посо­

бий по курсу высшей математики, направленных на развитие и

активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содержат­

ся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и ииди­ видуальных заданий по следующим разделам: комплексные чис­

ла, неопределенные и определенные интегралы, функции не­

скольких переменных и обыкновенные дифференциальные урав­

нения.

Для студентов инженерно-технических специальных вузов.

1602010000-132

	С	11-90	ББI( 22.11я73
	М304(03)-91
ISBN	5-339-00327-2 (ч. 2)		© Коллектив авторов,
ISBN	5-339-00483-Х		1991

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга

является второй частью комплекса учебных по­ собий под общим названием «Сборник индиви­

дуальных заданий по высшей математике». Он

написан в соответствии с действующими про­ граммами курса высшей математики в объеме

380--450 часов для ин)Кенерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс мо)Кет

быть использован в вузах других профилей, в

которых количество часов, отведенное на изуче­

ние высшей математики, значительно меньше.·

(В последнем случае из предполагаемого мате­

риала рекомендуется сделать необходимую вы­

борку.) Кроме того, он вполне доступен для

студентов вечерних и заочных отделений вузов. Настоящий комплекс пособий адресован

преподавателям и студентам и предназначен

для проведения практических занятий, само­ стоятельных (контрольных) работ в аудитории

и выдачи индивидуальных домашних заданий

по всем разделам курса высшей математики. Во второй части «Сборника индивидуальных заданий по высшей математике» содер)Кится

материал по комплексным числам, неопреде­

ленным и определенным интегралам, функциям

нескольких переменных и обыкновенным диф­ ференциальным уравнениям.

Структура второй части комплекса анало­ гична структуре первой его части. Нумерация

3

глав, параграфов и рисунков ПРО)l.олжает соот­

ветствующую нумерацию в первой части.

Авторы выражают искреннюю благодар­

ность рецензентам - коллективу кафедры выс­

шей математиКи MotKOBCKoro э~:ерге1-И4еского

института, возглавляемой членом-корреспон­

дентом АН СССР, доктором физико-матема­

тических наук, профессором С. И. Похожаевым,

и за~едующ~му кафедрой высшей' м:атематики

Минского радиотехнического института, док­

тору физико-математических наук, профессору

Л. А. Черкасу, а также сотрудникам этих ка­

федр кандидатам физико-математических нрук,

доцентам Л. А. Кузнецову, П. А. Шмелеву,

А. А. Карпуку - за ценные замечания и советы,

способствовавшие улучшенйю книги.

Все отзывы и пожелания просьба присылать

по адресу: 22004~, Минск, проспект Машеро­

ва, 11, издательство «ВЫШЭЙЦJая школа».

Авторы

М~ТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Охарактеризуем структуру пособия, методику его

использования, организацию проверки и оценки знаний,

навыков и умений студентов.

Весь практический материал по курсу высшей мате­ матики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные опреде­

ления, понятия, формулировки теорем, формулы), исполь,­ зуемые при решении задач и выполнении упражнений.

Изложение этих сведений иллюстрируется решенными

примерами,	(Начало решения примеров отмечается сим­
волом ~, а	конец -	..... ) Затем даются подборки задач
с ответами	для всех	практических аудиторных занятий

(АЗ) и для самостоятельных (мини-контрольных) работ на 10-15 минут во время этих занятий. Наконец,

приводятся недельные индивидуальные домашние зада­

ния (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой

главы помещены дополнительные задачи повышенной

трудности и прикладного характера.

В приложении приведены двухчасовые контрольные

работы (каждая по 30 вариантов) по важнейшим темам

курса.

Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел:

первое из них указывает на главу, а второе - на поряд­

ковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-9.1 означает, что АЗ относится к девятой главе и является первым по счету. Во второй части пособия содержится

26 АЗ и 12 ИДЗ.

Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На­ пример, шифр ИДЗ-9.2 означает, что ИДЗ относится к девятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая нумерация: первое число

означает номер задачи в данном задании, а второе­

номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-9.2: 16 озна­

чает, что студент должен выполнить 16-й вариант из

ИДЗ-9.2, который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16, 4.16.

5

При выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых

вариантов можно менять от задания к заданию по ка­

кой-либо системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить

его вариант, комбинируя однотипные задачи из разных

вариантов. Например, шифр ИДЗ-9.2: 1.2; 2.4; 3.6; 4.1

означает, что студенту следует решать в ИДЗ-9.2 первую

задачу из варианта 2, вторую - из варианта 4, третью -

из варианта 6 и четвертую - из варианта 1. Такой ком­

бинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариан­

тов получить большое количество новых вариантов.

Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов (Бе:/юрусский институт механизации сельского хозяйства,

Белорусский политехнических институт, Дальневосточный политехнический институт и др.) показало, что целе­

сообразнее выдавать идз не после каждого АЗ (которых,

как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее в себя основной материал двух АЗ данной

недели.

Дадим некоторые общие рекомендации по организа­ ции работы студентов в соответствии с настоящим по­ собием.

1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово­

дятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные

необязательные для посещения студентами консульта­

ции, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для

систематичес~ого контроля с выставлением оценок, ука­

занием ошибок и путей их исправления могут быть исполь­

зованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы

ответов и бэр" листов решений, которые кафедра заго­

тавливает дЛЯ ИДЗ (студентам они не выдаются). Если

матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ,

то листы решений разрабатываются TOJlbKO для тех задач

и вариантов, где важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы .решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при само­

контроле правильности выполнения заданий студентами,

при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при

комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу

решений - свои вычисления. Эти методы позволяют про­ верить идз 25 студентов за 15-20 минут с выставле­

нием оценок в журнал.

6

2. В вузе студенческие группы по 15 человек, прово­

дятся два АЗ в неделю, в расписание ДЛЯ каждой группы

включены обязательные два часа в неделю самоподго­ товки под контролем преподанателя. При этих условиях

(которые созданы, например, в Белорусском институте

механизации сельского хозяйства) организация индиви­

дуальной, самостоятельной, творческой работы студентов,

оперативного контроля за качеством этой работы значи­

тельно улучшается. Рекомендованные выше методы при­

годны и в данном случае, однако появляются новые

возможности. На АЗ быстрее проверяются и оценива­

ются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки мож­

но проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задол,­

женности по ИДЗ у отстающих.

Накапливание большого количества оценок за ИДЗ,

самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять

им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.

Все это дает возможность отказаться от традицион­ ного итогового семестрового (годового) экзамена по материалу всего семестра (учебного года) и ввести так

называемый блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод оценки знаний и навыков студентов, состо~щий в сле­

дующем. Материал семестра (учебного года) разделяется

на 3-5 блоков (модулей), по каждому из которых

выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла­

двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная рабо­

та, в которую входят два-три теоретических вопроса

и 5-6 задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму­

контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра (учебного года). Подобный метод внедряется, например, в Белорусском институте механизации сельского хозяйства.

В заключение о:гметим, что пособие в основном ориен­ тировано на студента средних способностей, и усвоение

содержащегося в нем материала гарантирует удовлет­

ворительные и хорошие знания по курсу высшей мате­

матики. Для одаренных и отлично успевающих студен­

тов необходима подготовка заданий повышенной слож­

ности (индивидуальный подход в обучении!) с перспек­ тивными поощрительными мерами. Например, можно разработать для таких студентов специальные задания

на весь семестр, включающие задачи настоящего посо-

7

бия и дополнительные более сложные задачи и теоре­

тические упражнения (Д,llЯЭТ9Й цели, в частности, пред­

назначены дополнительные задачи в конце каждой гла­

вы). Преподаватель может выдать эти задания в начале

семестра, установить график их выполнения под своим

контролем, разрешить свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в слу­

чае успешной работы выставить отличную оценку до

экзаменационной сессии. '

7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ

НАД НИМИ

7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ'

Комплексным

числом

называется

число

вида

2 = Х + iy,

где

х и

У - действительные

числа; i = -J~-

так

называемая

мнимая

еди­

ница*, т. е.

число,

квадрат

которого

равен

-1

(корень уравнения

22 + 1 = О) ;

х

называется

действительной

(вещественной)

частью

комплексного числа, а У -

мнимой его частью. Для этих чисел приняты

обозначения:

х = Re2,

У = 1т2. Если

У = О,

то

2 = Х Е R;

если

же

х = О,

то число

2 = iy

называется чисто

мнимым.

С геометрической

точки

зрения,

всякому

комплексному

числу

2 =

Х

+ iy

соответствует

- +

точка М(х, У)

плоскости

(или

вектор

ОМ)

и,

наоборот,

всякой точке

М(х, У) соответствует комплексное число 2 =

Х + iy. Между множествами

комплексных чисел и точек плоскости

Оху

(z)

установлено взаимно однозначное соответ­

у

н

.

ствие, поэтому данная плоскость назы­

вается комплексной и обозначается симво­

у!----....".. Z=X-f-LY

лом (2)

(рис. 7.i).

Множество			всех	комплексных чисел
обозначается		буквой		С. Отметим, что
R с С.	Точки,	соответствующие действи­
тельным	числам		2 =	х, расположены на

оси Ох, которая называется действительной

осью комплексной плоскости, а точки, со­ ответствующие мнимым числам 2 = iy,-

на оси Оу, которую называют мнимой осью

комплексной плоскости.

А

ох х

-yl----	~_ z: x-iy
	t1

Рис. 7.1

Два комплексных числа равны, если соответственно равны их

действительные и м-нимые части. Числа вида 2 = Х + iy и 2 = Х - iy называются сопряженными (см. рис. 7.1).

Если 21 = ХI + iYI; 22 = Х2 + iY2 - два [(Qмплексных числа, то ариф­

метические операции над ними выполняются по следующим правилам:

21 + 22

=

(х + iYI) + (Х2 + iY2) =

(ХI + Х2) + i(YI

+ У2),

21 -

22

= (ХI + iYI) -

(Х2 + iY2) = (ХI -

Х2)

+ i(YI

- У2),

2122 = (ХI + iYI) (Х2 + iY2) = (XIX2 - YIY2) + i(XIY2

+ X2YI),

21

ХI

+ iYI

21~

XIX2

+ YIY2

.

Х2УI - XlY2

-;; =

Х2

+ iY2

= 22':;' =

X~

+y~

+ 1

X~

+ У3

(последняя операция имеет

место при

условии,

что

22 =f= О). В

резуль­

тате

получаем,

вообще говоря,

комплексные числа.

Указанные

опера­

ции над комплексными числами обладают всеми свойствами соот-

* в технической литературе для мнимой единицы используется

также обозначение j = -J~.

9

ветствующих операций над действительными числами, т. е. сложение

иумножение коммутативны, ассоциативны, связаиы отношением

длстрибутивности и для них существуют обратные операции вычита·

ния	и деления	(кроме деления на				нуль).		21 = 2 + 3i,		22 = 3 - 4i,
	Пример	1.	Даны комплексные				числа
2з =	1 + i. Найти				21 + 2122 + 2~
				2 =		21 +	2з .
	~ Последовательно вычисляем:
			21 + 2з =		(2 + 3i) + (1 + i) =			3 +	4i,
	2122 =(2 + 3i) (3 -				4i) =(6+ 12)+ i(9 -				8)= 18 + i,
		2~=(3-4i?=9-24i-16= -7-24i,
	21 +	2122 + 2~ =		2 + 3i +		18 +	i - 7 -	24i = 13 -		20i.
Тогда			(13 -	20i) (3 -			(39-80) +i( -60-52)
	13 -20i					4i)
	2=		(3 + 4i) (3 -			4i)			2§__
	3+4i
					_41	.112
				=25-125·~
	Число г = IомI = ~ иазывается модулем								комплексного числа
						- +

2. Угол <р, образованный вектором ОМ с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозна­

чается	q> =	Arg 2.							Х + iy (см.
Очевидно, что для всякого комплексного числа 2 =
рис. 7.1) справедливы формулы:
		х = г cos <р,			у = г sin <р,					(7.1)
		г = ...Jx2 + у2, cos q> = х/г,				sin f{! = у/г,
где главное значение аргумента q> = arg 2 удовлетворяет									следующим
условиям: -л < arg 2 ~ Л или О ~ arg 2 < 2л.
Всякое		комплексное число		2 =	Х + iy	может	быть	представлеио
в тригонометрической форме
		2 = r(cos q> + i sin				<р)				(7.2)
или в показательной форме
					cos q> + i siп <р).					(7.3)
(так как по формуле Эйлера ej~ =							Формулы			(7.2) и
(7.3)	целесообразио применять при умножении комплексиых									~исел,
а также возведеиии их в степеиь.					"-
Если		21 = fI.(COS f{!1 + i	sin q>1),		22 ~ f2(COS <р2 + i sin			f{!2), то		спра­
ведливы формулы:
	Z12! = fIf2(COS (q>1 +		fjJ2)	+ i	sin (q>1 + <р2») = fIf2ej(~, + ~'J,
~ =		..с!... (c~s (ФI - <р2) + i		sin(q>1 ~ <р2») = ~ej(~,-~,)				(22 =1= О).
~		n				n
		2" =.,n(COS nq> + i sin nq»				= ,nejn~.				(7.4)
Формула (7.4) называется формулой Муавра.
Для извлечения корня			n-й	степени (n> 1, n Е Z) из				комплексного

числа в форме (7.2) используется формула, дающая n зиачений этого

кория:

10