6.3. Решение задачи распределения времени домохозяйства
Воспользуемся методом множителей Лагранжа для решения задачи, сформулированной в подразделе 6.1. Составим функцию Лагранжа
.
Необходимые условия экстремума:
Исключая
,
приходим к условию
,
(4)
которое означает, что в точке решения предельная норма замещения (MRS) свободного времени потреблением равняется реальной ставке заработной платы. Это условие можно прочитать и так: в точке решения MRS равняется отношению цен труда и продукта. Естественно, когда продукт один, P является ценой как выпускаемого, так и потребляемого товара. Нетрудно понять, почему при замещении свободного времени потреблением номинальная ставка заработной платы выступает в качестве цены свободного времени: свободное время оценивается утраченными возможностями. Если бы единица свободного времени использовалась для труда, то дополнительный заработок составил бы как раз W. Используя время для отдыха, мы теряем ту заработную плату, которая была бы за это время заработана. Геометрически точка решения показана на рис. 5. В этой точке прямая бюджетного ограничения касается одной из кривых безразличия функции полезности.
6.4. Частный случай
Рассмотрим интересный частный случай функции полезности, для которого, как мы покажем, предложение труда возрастает с ростом ставки заработной платы. Пусть
,
где
u,
- функции одной переменной,
.
Таким образом, домохозяйство «способно»
учитывать свое потребление и свободное
время с помощью одного числа
.
Функция
оценивает свободное время в единицах
потребления. Теперь полезность
домохозяйства зависит лишь от значения
.
Считаем, что функция u (это
функция одной переменной) обладает, как
и функция
,
обычными свойствами функции полезности:
.
Выпишем условие (3). Теперь
,
.
Условие (3) принимает вид
.
Геометрически
это означает, что в точке решения прямая
с угловым коэффициентом, равным
,
касается графика функции
(рис. 6).
Свободное
время
однозначно определяется этим условием,
а предложение труда
- равенством
.
Тем
самым, в рассматриваемом частном случае
предложение труда не зависит от
нетрудового дохода a
и определяется лишь реальной ставкой
заработной платы
.
С ростом
свободное время уменьшается, а предложение
труда – увеличивается. Таким образом,
в данном случае предложение труда
является возрастающей функцией реальной
ставки заработной платы.
6.5. Возрастает ли в реальности предложение труда при увеличении реальной ставки заработной платы?
В
общем случае, указанном в подразделе
6.3, предложение труда домохозяйством
зависит от реальной ставки заработной
платы
и нетрудового дохода a.
Общепринято считать, что основным
детерминантом предложения труда является
«чистая» (после уплаты налога) реальная
заработная плата. Предположим, она
возрастает. Тогда в состав рабочей силы,
возможно, вольются некоторые члены
семьи, которые до сих пор оставались
дома. Но для тех, кто уже работает,
увеличение реальной ставки заработной
платы неоднозначно влияет на предложение
труда. Одновременно действуют эффект
дохода и эффект замещения. Эффект
дохода, который возникает в результате
повышения заработной платы, может
привести к снижению предложения труда,
поскольку теперь появляется возможность
работать меньше и зарабатывать больше.
Эффект замещения ведет к увеличению
предложения труда. Каким будет в
реальности результат совместного
действия эффекта дохода и эффекта
замещения, может показать только
эмпирическое исследование.
Подобные исследования, проведенные в 1980х годах Д. Хаусманом в США показывают, что предложение труда значительно увеличивается при увеличении «чистой» реальной ставки заработной платы. Кроме того, для уже работающих предложение труда уменьшается при прогрессивном налогообложении (т.е. таком, когда налоговая ставка увеличивается с ростом заработка). По оценке Хаусмана, если заменить прогрессивный налог на доходы единым 15% налогом на доходы, предложение труда увеличится на 5%. Поскольку доля труда в ВНП составляет в США 0,75, это могло бы привести к росту потенциального ВНП. Предложение по введению единого налога на доходы было отчасти использовано при проведении налоговой реформы в России.
Итак, исследования Д.Хаусмана дают основания считать, что предложение труда домохозяйством возрастает с ростом реальной ставки заработной платы. Возможный вид кривой предложения труда показан на рис. 7.