2.4 Гармонический ток в сопротивлении

Если напряжение u = U_msin(ωt + ) подвести к сопротивлению R, то через сопротивление пройдет гар­монический ток

.

Следовательно, напряжение на зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу, или, как говорят, совпадают по фазе: они одновременно достигают своих амплитудных значений U_m и I_т и соответственно одновременно проходят через нуль (рисунок 2.7).

В данном случае фазовый сдвиг между напряжением и и током i (и соответственно между векторами напряжения и тока ) равен нулю:

 = _u  _I = 0.

При прохождении гармонического тока через сопротивление R не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома: U_m = RI_m; U = RI.

Пользуясь величиной проводимости g = 1/R, получаем: I_m = gU_m; I = gU.

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,

P_R = ui = U_mI_msin²(ωt + ) = UI[1  cos2(ωt + )] (2.10)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжений и тока и колеблется в пределах 0…2 UI (рисунок 2.8).

Как видно из (2.10), кривая р_R состоит из двух слагающих: постоянной слагающей UI и косинусоидальной функции, имеющей амплитуду UI и угловую частоту 2ω.

Ввиду того, что в рассматриваемом случае напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. всегда имеют одинаковый знак (плюс или минус), их произведение всегда положительно.

Среднее значение мощности за период называется средней или активной мощностью и измеряется в ваттах.

В рассматриваемом случае, как это видно из выражения (2.10) и рисунка 2.8, средняя мощность Р = UI = RI². Это следует также и из определений, данных в предыдущем параграфе. Сопротивление R в свою очередь может быть определено как отношение средней мощности к квадрату действующего значения тока .

Ранее отмечалось, что сопротивление проводника при переменном токе больше, чем при постоянном токе, вследствие явлений поверхностного эффекта, эффекта близости, возникновения вихревых токов и излучения электромагнитной энергии в пространство. В отличие от сопротивления при постоянном токе, которое называют омическим, сопротивление проводника при переменном токе называется активным сопротивлением.

В теории электромагнитного поля доказывается, что вследствие поверхностного эффекта сопротивление R_f провода круглого сечения диаметром d при частоте f связано с сопротивлением того же провода R₀ при постоянном токе формулой: R_f = R₀∙0,0385 d т.е. сопротивление растет пропорционально корню квадратному из частоты.

Излучаемая в пространство мощность пропорциональна второй степени частоты, длины провода и действующего значения тока. Следовательно, при l<< сопротивление излучения зависит от соотношения длины провода и длины электромагнитной волны. При низких частотах оно ничтожно мало, а при высоких частотах может быть соизмеримо с R_f или даже больше него.

2.6 Гармонический ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L проходит ток i = I_msin(ωt + ).

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле (1.3)

.

Значит, напряжение на индуктивности

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол /2; максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на /2 (рисунок 2.9). Когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного или отрицательного максимума, так как оно пропорционально скорости изменения тока (di/dt), которая в момент прохождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на индуктивности обращаются в нуль.

Под фазовым сдвигом  тока относительно напряжения понимается разность начальных фаз напряжения и тока (§ 2.4). Следовательно, в данном случае  = _u  _i = .

На векторной диаграмме вектор тока отстает от вектора напряжения на угол /2 (рисунок 2.9, в).

Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

U_m = ωLI_m = x_LI_m; U = x_LI.

Величина x_L = ωL, имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина называется индуктивной проводимостью.

Итак, I_m= b_LU_m; I = b_LU.

Индуктивное сопротивление представляет расчетную величину, с помощью которой учитывается явление самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет:

р_L= u i= U_mI_m sin(ωt++)sin(ωt+) = 2cos(ωt+)sin(ωt+) = = UIsin2(ωt+) .

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой 2ω, имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии магнитного поля индуктивности (§ 1.3).

Энергия магнитного поля индуктивности согласно формуле (1.4а)

изменяется периодически с угловой частотой 2ω в пределах от 0 до (рисунок 2.10).

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается источнику при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехода тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, равном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю. Так как максимальное значение энергии, запасаемой в магнитном поле, равно w_Lmax= LI², то индуктивное сопротивление X_L = ωL может быть определено как X_L = .