8.2. Потоки событий. Уравнения Колмогорова

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких за­дач массового обслуживания, в которых поток требований явля­ется простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, то есть вероятность поступления за время t, ровно k требований задается форму­лой:

P_k=e^-λt

где λ – параметр потока (интенсивность – среднее число требований, поступивших в систему за единицу времени).

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.

Ординарность потока означает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одно­временно выйдут из строя несколько станков.

Стационарным называется поток, вероятные характеристики которого не зависят от времени. Например, математи­ческое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени, является величиной постоянной и называется интенсивностью потока. Таким образом, вероятность поступления в систему определен­ного количества требований в течение заданного промежутка времени t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за время t + t.

Например, если на ткацком станке в данный момент про­изошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не опреде­ляет того, произойдет новый обрыв на данном станке в следую­щий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения обрыва на других станках.

Вероятность того, что на временном интервале t = τ не поступит ни одного требования p₀ определяется как:

p₀ = e^-λτ.

Тогда вероятность того, что на этом же временном интервале появится хотя бы одно требование определяется соотношением

p(t) = 1 – p₀ = 1 – e^-λτ.

Вероятность попадания на элементарный временной интервал, т.е. когда τ = Δt, хотя бы одного события (требования) потока, можно определить, заменив функцию e^-λτ двумя первыми числами её разложения в ряд Маклорена по степеням Δt. Действительно:

p(Δt) = 1 –e^-λΔt ≈ λ Δt.

Важной характеристикой СМО является время обслужива­ния требований в системе. Время обслуживания является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно в практических приложениях, получил экс­поненциальный закон. Для этого закона функция распределения вероятностей имеет вид:

р (t<T)=F(t)=1 – е^-t,

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, где μ – интенсивность потока обслуживания тре­бований в системе (среднее число требований, обслуженных в единицу времени).

Очевидно, что вероятность обслуживания хотя бы одного требования за элементарный временной отрезок будет определяться как:

p(Δt) = 1 –e^-Δt ≈ μλ Δt.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями пользуются графиком состояний, где прямоугольником изображаются состояния, а переходы из состояния в состояние – стрелками. У стрелок обычно проставляются значения интенсивностей λ_ij (μ_ij) перехода системы из состояния S_i в состояние S_j, которые происходят под воздействием простейших потоков событий.

Рассмотрим систему, которая может находиться в двух состояниях: S₀ – система исправна; S₁ – система находится в состоянии отказа и ремонтируется (рис. 8.1).

S₀

S₁

λ

μ

Рис. 8.1. Граф системы

Будем характеризовать состояние системы (S₀,S₁) вероятностями состояния р₀ (t) и р₁ (t). Очевидно, что

р₀ (t) +р₁ (t) = 1.

Найдем вероятность того, что система в момент (t+Δt) будет находиться в состоянии S₀.

Это возможно, во-первых, в том случае, если система в момент времени t с вероятностью р₀(t) находилась в состоянии S₀ и за время Δt из него не вышла. Вероятность выхода системы за время Δt из состояния S₀ в состояние S₁ определяется как λ· Δt. Противоположная вероятность (что система не выйдет из S₀) определяется как (1 – λΔt). Вероятность того, что система, находившаяся в состоянии S₀ с вероятностью р₀(t), за время Δt не выйдет из него, равна по теореме умножения вероятностей

р₀(t) (1 – λΔt).

Во-вторых, система в момент времени t находилась с вероятностью р₁(t) в состоянии S₁ и за интервал времени Δt с вероятностью μ·Δt перешла в состояние S₀, т.е.

р₁(t)· μΔt.

Вероятность р₀(t + Δt) нахождения системы в состоянии S₀ момент времени (t + Δt) по какому-либо из двух рассмотренных способов равна сумме рассмотренных вероятностей

р₀(t + Δt) = р₀(t) (1 – λΔt)+ р₁(t) μΔt

Преобразуем соотношение к виду

Переходя к пределу при Δt→0, получим

По аналогии составляется уравнение, описывающее вероятность того, что система в момент (t + Δt) будет находиться в состоянии S₁, но проще это найти из условия нормирования

р₀ (t) +р₁ (t) = 1.

С учетом этого условия система уравнений для двух состояний графа имеет вид

Задав начальные условия, можно решить систему уравнений и найти систему функций времени р_i(t), где i – номер состояния.

Для достаточно большого значения t распределение вероятностей стабилизируется и практически не зависит от времени, т.е.

Тогда система уравнений упрощается (стационарный режим)

Откуда вероятности состояний установившегося процесса определяются как

В частности, если μ=2; λ=1, то Р₀=0,67; Р₁=0,33. Таким образом, в среднем система будет находиться в рабочем состоянии 67%, а в состоянии ремонта 33% времени.

В общем случае система уравнений Колмогорова может быть составлена по следующему алгоритму.

1. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности i-го состояния.

2. В правой части каждого уравнения стоит:

2.1. Сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в i-е состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий.

2.2. Минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность i-го состояния.

Система Колмогорова состоит из независимых уравнений и условия нормирования.