3. Пересечение плоскостью поверхностей вращения.

Озвучить курсантам суть решения задач на пересечение поверхностей вращения плоскостью.

Решение задач построения сечения поверхностей вращения плоскостью базируется на общем, рассмотренном ранее, алгоритме, т.е. на пересечении заданных геометрических фигур вспомогательными, как правило проецирующими плоскостями уровня. Однако решение этих задач имеет и некоторые особенности. Вспомогательные секущие плоскости необходимо проводить таким образом, чтобы поверхность пересеклась бы по геометрически простым линиям (например, окружностям), а заданная секущая плоскость – по прямым линиям. Точки пересечения этих линий будут искомыми точками сечения.

Данный вопрос темы раскрыть на примере решения следующих задач. Дать под запись условия задачи №1.

Пример 1.

Определить проекции сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Р. Пересечение конуса фронтально проецирующей плоскостью.

На доске сначала изобразить две проекции конуса с обозначением его вершины s и следов плоскости Р.

Решение:

Определим характерные (крайние) точки сечения. В связи с тем, что плоскость Р – фронтально проецирующая, фронтальными проекциями соответствующих точек будут точки пересечения фронтального следа Р_v с фронтальной плоскостью конуса. В случае, если плоскость Р не пересекает основание конуса будут точки 1^/, 2^/. При этом прямая 1^/,2^/ будет являться фронтальной проекцией сечения конуса плоскостью Р. Найдём соответствующие горизонтальные проекции – точки 1, 2. Для определения дополнительных точек сечения построим вспомогательные плоскости уровня I и II. Их фронтальный след будет параллелен оси Х. Эти вспомогательные плоскости рассекут конус по окружностям. Точки пересечения вспомогательных плоскостей I и II с плоскостью Р во фронтальной проекции имеют соответствующие горизонтальные проекции на окружностях, полученных пересечением плоскостей I и II с конусом. Это будут точки 3,4,5,6. Соединив эти точки, получим искомое сечение.

Дать под запись курсантам следующее примечание

В зависимости от того, каким образом плоскость пересекает конус, сечения могут иметь различную конфигурацию:

1) если плоскость не пересекает основания конуса – эллипс.

2) если плоскость пересекает основание конуса и параллельна одной из его образующих – парабола.

3) если плоскость пересекает основание конуса и параллельна двум его образующим – гипербола.

4) если плоскость проходит через вершину конуса – пересекающиеся прямые.

5) если плоскость перпендикулярна оси конуса – окружность.

Пример 2.

Дать под запись условия задачи №2.

Определить проекции сечения цилиндра плоскостью общего положения Р.

На доске сначала изобразить цилиндр в двух проекциях и следы плоскости Р.

Решение:

Задача решается путём проведения вспомогательных секущих плоскостей. Определим характерные точки сечения. Нижними точками сечения будут точки 1 и 2. для определения верхней точки сечения – вершины, проведём вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость S, таким образом, чтобы её горизонтальный след S_н проходил бы через центр горизонтальной проекции цилиндра и был бы перпендикулярен следу Р_н. Точка 5, являющаяся точкой пересечения линии цилиндра и плоскости S, будет верхней точкой сечения. Для определения дополнительных точек сечения пересечём цилиндр и плоскость Р вспомогательными плоскостями уровня I, II, III, параллельными горизонтальной плоскости Н. При этом цилиндр рассечётся по окружности основания, а плоскость Р – по горизонталям, фронтальные (ФПГ) и горизонтальные (ГПГ) проекции которых показаны на рисунке. Точки 6, 7, 8, 9, 10, 11 – пересечения вспомогательных сечений будут являться точками, принадлежащими искомому сечению. Проводя кривую линию через фронтальные проекции найденных точек, получим фронтальную проекцию сечения цилиндра плоскостью Р. Горизонтальной проекцией сечения будет окружность основания цилиндра и горизонтальный след Р_н плоскости Р.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.

Подвести итоги занятия. По результатам работы и проведенного опроса определить степень усвоения материала и оценить работу каждого из обучаемых.