1.
Матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Равенство матриц
А=В, если 1. А[mxn]=B[mxn]
2. aij=bij
Соответствующие элементы – элементы с одинаковыми индексами
Две матрицы равны если они совпадают и их размерности равны
Операции над матрицами
-
Сложение
С[mxn]= А[mxn]+B[mxn], если сij= aij+bij
Свойства сложения матриц
-
Коммутативность (переместительный закон)
А+В=В+А
Доказательствo:
Пусть С[mxn]=А[mxn]+B[mxn], D[mxn]=B[mxn]+A[mxn],
А) Размерности С и В совпадают
Б) сij= aij+bij, по определению
dij= bij+aij, но т.к. aij и bij – числа, то aij+bij= bij+aij→ cij=dij→C=В
-
Ассоциативность (Сочетательный закон)
(A+B)+C=A+(B+C)
Доказательствo:
D’=A+B, D=D’+C, P’=B+C, P=A+P’
А) Размерность D’[mxn]=A[mxn]+B[mxm]
D[mxn]=D’[mxn]+C[mxn], аналогично для P[mxn]
Б)d’ij= aij+bij; dij=d’ij+cij= (aij+bij) +cij
p’ij= bij+aij; pij=p’ij+aij= aij+(bij +cij)
Для чисел aij, bij, cij справедливо равенство (aij+bij) +cij = aij+(bij +cij) →pij=dij→P=В
-
Нейтральный элемент относительно сложения
Θ такая, что Θ + А =А+ Θ=А
А) Размерности совпадают
Б) Θij+aij=aij+Θij→ Θij=0
II. Вычитание
С=A-B, если А=В+С
cij=aij-bij
Противоположные матрицы – матрицы сумма которых равна 0.
Нулевая матрица – матрица все элементы которой равны 0
О=
2.
-
Умножение матрицы на число
С=k*A, если
-
сij=kaij
-
размерности совпадают
Свойства операции
-
k(A+B)=kA+kB
-
(k+n)A=kA+nA
-
(kn)A=k(nA)=n(kA)
-
Вычитание можно представить как сложение с обратной матрицей
A-B=A+(-1)B
3.
IV. Транспонирование матриц
A= Aт=
C[mxn]=(A[mxn])т, если сij=aji
Свойства
-
(A+B)т=Ат+Вт
-
(nA)т=nAт
Доказательствo: С=Ат, если cij=aji
B=nA, C=Bт (слева)
D=Aт, P=nD (справа)
А) Размерности B=nA
C=Bт, D=Aт, P=nD
б) Посвойству умножения элементы В совпадают с элементами А умноженными с тем же числом
bij=naij (слева)
dji=aij ,pji=ndji=naij
→pji=cji→B=C
-
(Ат)т=А
4.
V. Произведение матриц
A[mxn]*B[nxr]=C[mxr]
Согласованные матрицы-матрицы число столбцов 1 матрицы равно числу строк во 2
Если А и В согласованны то В и А не всегда
С называется произведением A*B, если
1. C[mxn] =A[mxr]*B[rxn]
2. сij=
Элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и j-м столбце равен сумме попарных произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы о столбца матрицы В.
Свойства
-
AB≠BA
-
(AB)C=A(BC) (без док)
-
A(B+C)=AB+AC
-
n(AB)=A(nB)
-
(AB)т=ВтАт
VI. Нейтральный элемент относительно умножения – единичная матрица (е)
AE=A=EA
Единичная матрица – квадратная матрица все элементы которой, расположенные на гланой диагонали равны 1, а остальные 0.
Eij=1, при i=j
VII. Умножение на нулевую матрицу
A[mxn] Θ[nxr]= Θ[mxr]
5.
VIII. Возведение матрицы в степень
(A[mxn])k=AAAAAA…(k раз)
6.
Квадратная матрица – матрица у которой i=j.
Определитель матрицы – число.
Порядок определителя - количество строк или столбцов.
Теорема разложения.
Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.
7.
D3=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31a22a13 – a32a23a11 – a21a12a33
Вывод правила треугольников.
8.
Свойства определителя n-го порядка
-
Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.
-
Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.
-
Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.
-
Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
-
det(AB)=detA*debt(без док)
-
, если i≠j.
9.
Обратные матрицы
Матрица А-1 называется обратной для А, если А-1А=АА-1=Е→А – квадратная матрица.
Вырожденная матрица – матрица определитель которой равен 0
Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А-1.
Доказательство:
Пусть А[nxn]= det(a)=0 S= A-1=1/Δn*Sт
AA-1=E
A(1/Δn*Sт)=E
(1/Δn)** =(1/Δn)*= =(1/Δn)*=
Доказательство единственности:
Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..
A-1 и В
А-1А=АА-1=Е
BA=AB=E (1-2)
А-1А-BA= АА-1-AB=E-E
A(A-1-B)=A(A-1-B)=0
A-1-B=0 => (a-1)ij=bij => A-1=B.
10.