Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

О.Б.ШОНИН

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Временной анализ линейных электрических цепей

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2005

УДК 621.3.1 (075.80)

ББК 31.2

 Ш789

Рассматривается методика получения и решения динамических уравнений цепей с использованием средств компьютерного моделирования. Пособие может быть использовано при выполнении курсовой работы по дисциплине «Теоретические основы электротехники».

Предназначено для студентов специальности 180400 (140604) «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», может быть использовано студентами специальностей 210200 (220301) «Автоматизация технологических процессов и производств», 170300 (150404) «Металлургические машины и оборудование», 170100 (150402) «Горные машины и оборудование».

Научный редактор проф. А.Е.Козярук

Рецензенты: проф. Г.И.Прокофьев (Санкт-Петербургский электротехнический университет); проф. И.Г.Ефимов (Санкт-Петербургский политехнический университет).

Шонин О.Б.

Ш789. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. Временной анализ линейных электрических цепей.: Учеб. пособие / Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 64 с.

ISBN 5-94211-120-0

УДК 621.3.1 (075.80)

ББК 31.2

ISBN 5-94211-120-0

  Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2005 г.

Введение

В образовании инженера-электрика важную роль играет освоение методов анализа динамики электрических систем. Под динамикой системы понимается ее поведение при переходе из одного состояния в другое под действием внешнего источника или в результате изменений параметров системы.

Знание динамических свойств объектов необходимо для понимания работы систем автоматического управления, электронных устройств, информационно-измерительных систем, систем автоматизированного электропривода, коммутационных и аварийных процессов в энергетических системах и т.п.

Методы описания динамических процессов зависят от типа системы. Различают следующие типы систем: стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, детерминированные и стохастические, системы с непрерывным и дискретным временем.

В нестационарных системах какой-либо параметр, например, сопротивление R зависит от времени. В нелинейных объектах связь между входным воздействием и реакцией выражается нелинейной функцией, как, например, в устройствах, содержащих ферромагнитные материалы. Отличительным признаком стохастических систем является вероятностный характер внешнего воздействия или изменение одного из параметров. В системах дискретного времени рассматриваются реакции на действие последовательностей коротких импульсов, отражающих состояние процесса в дискретные моменты времени.

Анализ каждой из систем может быть выполнен с использованием временного или частотного способов описания сигналов и систем.

При описании объектов во временной t-области основными характеристиками являются: дифференциальное уравнение n-го порядка или система из n-уравнений первого порядка, математическая модель сигнала в виде временной зависимости, импульсная и переходная характеристики и др. В частотной s-области используются операторные аналоги временных характеристик: операторная функция цепи, операторное изображение сигнала, амплитудно-фазочастотные характеристики, спектры сигналов и реакций и другие операторные характеристики.

В работе рассматриваются временные характеристики простейшего элемента систем непрерывного времени в виде четырехполюсника, образованного линейными R, L, C и M-элементами с постоянными значениями параметров, при входном воздействии в виде стандартных сигналов, импульсного и периодического процесса.

Для описания цепей в t-области используются матрично-топологические методы расчета сложных электрических цепей, метод переменных состояния, классический метод расчета переходных процессов, структурные схемы, разностные уравнения, принцип суперпозиции, метод комплексных амплитуд, интегралы наложения, средства компьютерного моделирования.

Учебное пособие может быть использовано для выполнения курсовой работы по дисциплине «Теоретические основы электротехники». В каждом из разделов приведены краткие теоретические сведения, которые иллюстрируются подробным расчетом соответствующих характеристик четырехполюсника при действительных и комплексно-сопряженных значениях собственных чисел цепи. Расчет удобно производить символьным / численным методом в среде MathCAD / MATLAB. Для проверки результатов расчета и моделирования процессов целесообразно использовать библиотеку элементов непрерывного времени раздела Simulink системы MATLAB, виртуальные элементы и измерительные средства системы Electronics Workbench.

1. Дифференциальные уравнения состояния электрических цепей

1.1. Общие сведения о методе переменных состояния

Методы расчета электрических цепей и способы формирования уравнений должны быть согласованы с особенностями стандартных компьютерных программ, среди которых наиболее употребительными для задач электротехники являются пакеты прикладных программ (ППП) решения систем линейных / нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. В этих программах предполагается использование матриц и запись системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

В связи с этим в теоретической электротехнике наряду с традиционными методами составления интегродифференциальных уравнений используются специальные методы формирования уравнений электрических цепей – матрично-топологические и метод переменных состояния.

Под состоянием цепи понимается минимальная совокупность сведений, которые позволяют однозначно определить реакцию цепи в любой момент времени.

В электрических цепях в качестве переменных состояния используются напряжение на C-элементе и ток L-элемента , для которых в большинстве случаев выполняются условия непрерывности

; .

Знание независимых начальных условий и позволяет определить и , а также другие токи и напряжения в любой момент времени.

Уравнения переменных состояния записываются в форме Коши

, (1)

где x(t) – вектор переменных состояния размеров , n – число переменных или порядок цепи; A – матрица динамики цепи размером ; B – матрица входа размером ,

; ,

e – вектор входных воздействий размером , m – число независимых источников тока и напряжения,

; .

Если искомые реакции не совпадают с переменными состояния, то для их определения составляют дополнительное матричное уравнение

, (2)

где – вектор искомых реакций размером ; – число реакций; C – матрица выхода размером ; D – матрица усиления размером .

Матричные уравнения (1) и (2) дают полное описание цепи, если задан вектор начального состояния

.