- •2.Арифметические операции над комплексными числами:
- •3. Бином Ньютона. Метод математической индукции
- •4. Действительные числа
- •5.Принцип вложенных отрезков.
- •6. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности.
- •7. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности
- •8. Сходящиеся последовательности
- •9. Предельный переход в неравенствах:
- •10.Теорема о 2-х милиционерах.
- •11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.
- •12. Число е
- •13. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.
- •14.Теорема Больцмана-Вейерштрасса
- •15. Критерий Коши сходимости последовательности
- •16. Понятие функции
- •17.Понятие элементарной функции.
- •18.Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
- •19. Критерий Коши существования предела функции.
- •20. Свойства пределов функции в точке
- •21. Правило замены переменной для пределов функций.
- •22. Первый замечательный предел
- •24. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций.
- •25.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Таблица эквивалентности
- •26. Теорема о пределе монотонных функций.
- •28. Разрывные функции. Классификация точек разрыва
- •29.Фунция непрерывная на отрезке
- •30. Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке:
- •31.Теорема о непрерывной обратной функции
- •32. Равномерная непрерывность
- •33.Непрерывность элементарных функций.
- •34. Теорема о существовании верхней и нижней грани числового множества.
19. Критерий Коши существования предела функции.
Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквивалентностью старого и нового определений предельного значения функции, установим необходимое и достаточное условие существования у функции f(x) предельного значения в точке а.
Определение. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке х =а условию Коши, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие неравенствам 0<|х' — а|<δ, 0<|х" — а|<δ, для соответствующих значений функции справедливо неравенство |f(x')−f(x'')| <ε
20. Свойства пределов функции в точке
Пусть:
-
Если f (x)= c то lim f (x)=c, c=const
-
Если для всех х из рассматриваемой окрестности p(x)≤ f (x) ≤ g (x) и lim p(x)=lim g(x)=A (x→a) то lim f (x) = A (x→a)
lim f (x) = А а lim g (x)=B
x→a x→ a
-
lim (p*f (x)+ q* g(x)) = qA+pB
x→ a
-
lim ((f (x)*g (x))=AB
x→ a
3) lim (f (x)/g (x)) = A / B B ≠ 0
x → a
Доказательства указанных свойств непосредственно следуют из справедливости этих свойств для пределов последовательностей. Докажем свойство (2). возьмем произвольную последовательность {Xn}→a (n→∞) Из существования предела фун-ии по Гейне слудет что {f (Xn)} → A (n→∞) а {g (Xn)} →B. По свойству пределов последовательности lim (f (Xn)+g (Xn) = lim (f (Xn))+ lim (g (Xn) = A+B (n→∞). Т.к. последовательность была выбрана произвольно то свойство доказано.
21. Правило замены переменной для пределов функций.
Пусть f(X)yo при xxo и существуют пределы lim f(x)=yo и lim u(y)=A, тогда при xxо существует предел сложной функции xxo yyo
u(f(x)) и lim u(f(x)) = lim u(y) = A
xxo yyo Доказательство:
Пусть функция u(y) определена в некоторой -окрестности точки yo, кроме, может быть самой точки yo, тогда поскольку f(x)yo, то при 0<|x-xo|< выполняется неравенство |f(x)-yo|<. Так как f(x)yo, при xxo, то для x(xo-,xo)(xo,xo+) имеет смысл суперпозиция u(f(x)).
Пусть теперь{Xn}-какая-либо последовательность, такая, что lim Xn=xo, XnXo и Yn=f(Xn) n=1,2.. В силу существования lim u(y) = A lim u(f(x))=lim u(Yn)=A
yyo n n
Поскольку это видно для любой указанной последовательности {Xn} lim u(f(x))=A
xxo
Пример: найти предел lim sin(*x/(x+2)) решение: Так как при -2<x<2 выполняется -/2<y=*
x0 3
*x/(x+2)</2,то, имеем y0 sin y0.Исп. правило замены переменной:lim sin(*x*(x+2)=0
x0
___________________________________________________________________________________________