4. Действительные числа

Действительные числа Х принадлежат множеству рациональных чисел. Имеют свойства порядочности:

1. Х Х , для всех Х принадлежащих R

2. Если ХУ; УZ, то XZ.

3. ХУ и УХ, то Х=У.

4. Х<Y <=> XY, XY

Все эти числа определены на вещественной оси. Вещественная ось - это прямая на которой выбрана начальная точка и задано положительное направление.

Число которое не является рациональным называется иррациональным.

Пример: докажем что v2 иррационально. Пусть v2 = p/q => pІ=2qІ => p-четное, т.е. p=2h

4hІ=2qІ => 2hІ=qІ => qІ-четное => q- четное q=2n

2Ѕ= p/q -дробь не сократимая допустим , но v2= 2h/2n =h/n дробь сократима => противоречие. v2 не может быть рациональным числом. Ч.Т.Д.

_____________________________________________________________________________

5.Принцип вложенных отрезков.

Пусть заданна последовательность отрезков.{(An,Bn)} при (n=1) вложенных друг в друга т.е таких, что [An,Bn][An+1,Bn+1] (n=1....) с длинами стремящимися к нулю: Bn-An0 при n (т.е каково бы ни было мало >0, найдется номер N такой, что Bn-An< для всех n>N). Тогда существует и притом единственная точка (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам [An,Bn]. Доказательство: Все числа, соответствующие концам вложенных отрезков, удовлетворяют неравенствам: A1A2..AnAn+1Bm+1Bm...B2B1. Все числа An не убывают и ограничены сверху числом Bm при любом m. По основной теореме существует С=sup{An} - точная верхняя грань множества {An}. При этом AnCBm. Так как n и m произвольны, то в частности AnCBn (n=1,2...), следовательно, C[An,Bn], каково бы ни было n. Покажем, что точка С - единственная удовлетворяющая этому свойству. От противного положим, что C1C и С1[An,Bn] для всех n=1,2... Тогда Bn-An|C1-C|=>0 для любого n=1,2... Но это противоречит тому, что Bn-An0 при n. Лемма доказана.

6. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности.

Пусть B конечное или бесконечное множество элементов a,b,c... Если каждому числу натурального ряда 1,2,3... поставлен в соответствие некоторый элемент из множества B, то говорят что задана последовательность элементов данного множества. Членами последовательности могут быть числа, линии, функции, фигуры и т.д. Члены последовательности, как правило, обозначаются одной буквой с индексом внизу, указывающим то натуральное число, которому данный член соответствует. Множество В состоит из конечного или бесконечного набора чисел. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть если существуют два вещественных числа m и M такие, что каждый элемент Xn этой последовательности удовлетворяет неравенствам mXnM. Условие ограниченности можно записать в эквивалентной форме: последовательность {Xn} является ограниченной тогда и только тогда, когда существует вещественное положительное число А такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству |Xn|A. Последовательность {Xn} называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого числа найдется хотябы один элемент последовательности Xm, удовлетворяющий неравенству |Xm|>A. Ограниченная сверху (снизу), если существует вщественное число M (вещественное число m) такое, что кадый элемент последовательности Xn этой последовательности удовлетворяет неравенству XnM (mXn). Последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей),если каждый последующий член последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть, если для всех номеров выполняется неравенство XnXn+1(XnXn+1). Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности. Теорема о монотонной ограниченной последовательности. Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.

Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+

Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|

то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!

Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n.

n! m! (m+1)

_____________________________________________________________________________