22. Первый замечательный предел

обозначим f(x)=sinx /x, (x)=1/cosx.

Функция f(x) определена для всех значений х№0. пусть 0<x</2,тогда треугольник ОМВ содержится в секторе ОАМ,который в свою очередь содержиться в треугольнике ОАС и удвоенные площади перечисленных фигур соответственно равны (sinx*cosx),x и tgx, отсюда получаем неравенства sinx*cosx<x<tgx.при указанных значениях

При указанных значениях х sin x >0. Справедливо неравенство cos x <x/sin x <1/cos x.

=1, то и =1. При 0<x<π/2. Так как функция (sinx)/x является четной, то преднл будет таким же, если функция определена на интервале (-π/2, 0).

Замечание. Из этих геометрических построений в случае 0<x<π/2 следует, что 0<sinx<х и

1-sinx<cosx<1, поэтому =0, =1. =е

­­­­­­­­­­­­­24. Второй замечательный предел

Рассмотрим возрастающую функцию f(x)= при х>0 и докажем, что =e при этом предел будет тот же, если х>+¥ и >е в начале рассмотрим случай, когда х>+¥. Мы знаем, что >е п>+¥ и что эта последовательность монотонно возрастает. Зададим любое e>0 и подберем N_e такое что е-e <()<e для [x]<N, где [x]- целая часть х, и поэтому при х³1 число [x]- есть натуральное. Имеем неравенство е-e << <=*<e<e+e.

Средняя функция неравенств < *<е

Стремится к такому же пределу,к которому стремятся левая и правая функции,которые обе стремятся к е при х>+¥.заметим ещё,что множитель функции стремится к единице при n>¥.

Теперь рассмотрим случай,когда х>-¥.если х>-¥,то у=- х>+¥.имеем

=====*>е ,при у>+¥.

X sinx>0

24. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций.

Свойства о.

определение бесконечно малой.Функция (x) называется бесконечно малой при х->а,если lim_x->a((x))=0

общее понятие предела функции может быть сведено к понятию бесконечно малой:предел lim_х->а f(x) существует и равен А тогда и только тогда,когда f(x)=A+(x) ,где (x)->0 при х-> а.

также как и для бесконечно малой последовательности справедлива теорема об атифметических свойствах бесконечно малых функций:сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при х->а,а также произведение бесконечно малой функции при х ->а на ограниченную функцию являются бесконечно малыми при х ->а.

пример

существует ли предел при х->a у функции f(x)=sin² x/x *sin1/x.

решение: функцию f(x) можно представмть как произведение трёх функций f(x)=f₁(x)*f₂(x)*f₃(x), где f₁(x)=sinx бесконечно малая при x->0. функция f₂(x)=sinx/x->1при x->0,а поэтому f₂(x)-ограниченная функция;попутно отметим что f₂(x) - четная функция и при всех х справедливо неравенство sinx/x<=1.что касается функции f₃=sin1/x, то она является ограниченной при любом х ≠ 0 .в точке х=0 она не определена.применяя теорему об арифметических свойствах бесконечно малых,получаем lim f(x)=0.

определение бесконечно большой.Функция (x) называется бесконечно большой при х->а,если для любогосколь угодно большого М>0 существует такое бм>0, что для всех хэ(а-бм,а) v(а,а+бм) выполняется неравенство /(x)/>M. При этом пишут lim _х->af(x)=.

замечание.если в последнем неравенстве опустить знак модуля то при (x)> M пишут lim _х->a(x)=+,а при (x)<-M пишут lim _x->a (x)= -.

пример.

функция (x)=1/1-x является бесконечно большой при x->1,так как для любого M>1 для всех х(1-1/M,1) v (1,1+1/M) выполняется неравенство |1/(1-x)|>M.

Свойства символа "о малое"

пусть ₁(x) и ₂(x)-две произвольные бесконечно малые при х->а функции такие,что ₁(x)=o(β) и α₂(x)=o(β).тогда ₁(x)+₂(x)=o(β) при х ->а.эту теорему кратко можно записать так: о(β)+о (β)=о(β).сформулируем наряду с указанным ещё ряд свойств символа "о малое"(всюду имеется в виду ->0 и β->0 при x->a )

1. o(β)+o(β)=o(β).

2. o(β)-o(β)=o(β).

3. o(cβ)=o(β)  числа c≠0.

4. сo(β)=o(β)  числа c≠0.

5.о(βⁿ)=o(β^k) ,n 2(nN), k=1,2,…,n-1.

6. (о(β))ⁿ=o(βⁿ) , nN.

7.βⁿ о(β)=o(βⁿ⁺¹) , nN.

8. о(βⁿ)/β= o(β^n-1), n 2(nN).

Обозначим любую бесконечно малую при х->а функцию символом о(1). Тогда свойства 8. будет справедливо также при n=1:o(β)/β=o(1).

9. β^k=o(β),где с_k-числа.

10. о(o(β))=o(β).

11.о( β+o(β))=o(β).

12. β=о() и β=о(β).

13. если ~β,то -β =о() и -β= о(β).