25.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Таблица эквивалентности

Пусть на отрезке [a,b] или на множестве Е заданы две функции f(x) и g(x), причем одна из этих функций простая элементарная функция, например g (x), а другая сложная.

Функция f на множестве Е имеет порядок g, если ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌│f (x) ‌‌‌‌‌‌‌│ ≤ C‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌│‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌g (x)│, x принадлежит E и С не зависит от х. Это неравенство записывается в виде равенства f(x)=O(g(x)) где х принадлежит Е а и говорят что f есть О большое от g на E.

Пример: функция f (x)=sin(x) ограничена на вещественной оси (-∞,∞) поэтому можно записать так sinx=O(1), x принадлежит (-∞,∞). В то же время sinx=O(x) так как │sinx │≤ x.

Определение: функция f есть о малое от g при х>а если f(x)=ε(x)*g(x) где ε(x) >0 при х >а и записывается в виде f(x)=o(g(x)) (x >a)

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при х >а если обе они определены и не равны нулю на некоторой окрестности точки а за исключением быть может самой точки а и если lim (f(x)/ g(x))=1 при х >а. отсюда следует что f(x)= g(x)+о(g(x)) (х >а) (g(x)≠0) (х≠а).

Пример: 1-cosx ≈ 0,5*x² (x>0) так как lim (2*(1-cosx)*x² =lim4sin²(x/2)/x²=lim(sin(x/2)/(x/2)) ^2.=1

Эквивалентные функции (при х>0)

sinx ≈ x+o(x) 2. tgx ≈ x+o(x) 3. arcsinx≈ x+o(x) 4. arctgx ≈ x+o(x) 5. ln(x+1) ≈ x+o(x) 6. e^x-1≈x+o(x)

7.(1+x) ^α -1≈αx+o(x) 8. shx ≈ x+o(x) 9. 1-cosx ≈ x²/2 + o(x)

26. Теорема о пределе монотонных функций.

Функция f, определенная на числовом множестве Е, называется монотонно возрастающей (убывающей) на Е, если для любых x1,x2 принадлежащих Е, таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)f(x2) f(x1)f(x2). Теорема. Если на интервале (a,b) функция монотонно возрастает, то в точках a и b у функции существуют конечные и бесконечные пределы и lim f(x)=sup f, lim f(x)=inf f Доказательство: Если M=sup f<+, то, по определению

(xb-o) (a,b) (xa+o) (a,b) точной верхней грани, для произвольного >0 существует

такое X(a,b), что M-<f(X)M. Положим =b-X. В силу монотонности f(X)f(X) для любого X>X, а в силу определения точной верхней грани функции f(x)M. Поэтому если b-<X<b, то M-<f(X)f(x)M, а это означает что lim f(x) = M

Если sup f=+, то для произвольного B существует такое Xb(a,b), что xb-o

f(Xb)>B. По монотонности f(X)f(X)>B для любого x(Xb,b), а это в силу произвольности B и означает что lim f(x) =+. Следствие: Монотонная на интервале функция f имеет в каждой

xb-o точке этого интервала конечный предел как справа, так и слева.

Действительно, пусть f монотонно возрастает на (a,b) и точка Xo(a,b), тогда f(X1)f(Xo)f(X2)

для производных X1(a,Xo) и X2(Xo,b). Отсюда sup f f(Xo)inf f и по доказанной теореме существуют конечные пределы lim f(X) и lim f(x). Аналогично для убывающей функции.

xx0-o xx0+o

27.непрерывность функции в точке.

Определение- ф-я F называется непрерывной в точке А, если она определена в некоторой окрестности точки А, в том числе и в самой точке А, и если lim х>А F (х)=F(А)

Это определение в более развернутом виде формулируется так-

Функция F называется непрерывной в точке А, если она определена на интервале (с,d), содержащему точку А, и если для любого ε >0 существует δε>0, такое что из условия ıх-Аı< δε следует неравенство ıF(x) – F(A)ı<ε.Приведем еще формулировку, эквивалентную приведенным на языке последовательностей-

Функция непрерывна в точке А, если она определена на некотором интервале (с,d) , содержащем А, и если для любой последовательности {Xn}, сходящейся к А, Xn >A при n >∞, имеет место АF(х) >F(А), при n >∞. Если функция F, заданная в окрестности точки А, не является не прерывной в точек А, то она разрывна в точке А.

Прямое определение разрывности F в точке А. Пусть Функция F определена в окрестнрсти точки А и пусть существует ε >0 такое что для любого δ>0 найдется точка Х δ, такая что Х δ-А⃓< δ, но ⃓ F (Хδ)-F(A)⃓≥ ε, тогда F разрывна в точке А.

Для непрерывности функции в точке А требуется во первых , существование предела lim х>АF(х), во- вторых, совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает при х=А.

Пример- функция F(х)=⃓х⃓, х(-∞,∞) является непрерывной точке х=0, так как F(0)=0, причем lim х>-0(-х)=0, lim х> 0+0(х)=0

Сущность понятия непрерывности состоит в том, что данная бесконечно малое приращение Δх независимой переменной, мы можем сделать приращение Δy функции y= F(х) бесконечно малым

Δ y= F(А+ Δ х)- F(А) при Δх>0

F(А+ Δ х) > F(А) при Δх>0

Функция F в точке А непрерывна с права, если F(А+ 0)= F(А) и непрерывна слева, если F(А-0)= F(А). для того чтобы функция была непрерывной в точке А, необходимо и достаточно , чтобы в этой точке она была непрерывна как справа так и слева.

По Гейну Если для любой последовательности Xn>A, последовательное значение функции сходится одному и тому же числу F(A), то такая функция называется непрерывной.

По коши Функция называется непрерывной в точке А, если для любого ε >0 существует δ(ε) такой что для любых Х⃓Х-А⃓< δ и ⃓ F(x) – F(A)⃓< ε.