5 Хвильові явища на пласкій межі поділу двох середовищ

 5.1 Стислі теоретичні відомості

Розглянемо падіння пласкої хвилі на пласку необмежену поверхню поділу двох однорідних ізотропних немагнітних (₁ = ₂ = 1) середовищ з параметрами ₁, ₁ і ₂, ₂ (рис.5.1). Підкреслимо, що це одна з найпростіших електродинамічних задач.

Зміна кривизни межі поділу, наявність багатошарових структур і т. ін. значно ускладнюють аналіз хвильових явищ.

Перший і другий закони Снелліуса. Площину, проведену через вектор Пойнтинга і нормаль до поверхні поділу називають площиною падіння.

На рис. 5.1 наведено кути між вектором нормалі до поверхні і напрямками

Рисунок 5.1  Кути падіння, відбиття та заломлення поширення падаючої, відбитої

і орієнтація векторів при паралельній і заломленої хвилі. Відповід-

і нормальній поляризаціях но ці кути називають кутом

падіння , кутом відбиття _від

та кутом заломлення _зал.

Перший закон Снелліуса: кут падіння дорівнює куту відбиття  = _від.

Другий закон Снелліуса поєднує кути падіння і заломлення в середовищах без втрат з урахуванням хвильових чисел обох середовищ :

. (5.1)

Аналіз (5.1) показує, що кут заломлення менший кута падіння _зал   , якщо відношення ₂/₁  1, а при ₂/₁  1 навпаки, більший, _зал  .

Поляризація електромагнітних хвиль відносно межі поділу. В розділі 3 введено поняття поляризації електромагнітних хвиль у часі. Відзначено, що поле хвилі з коловою або еліптичною поляризацією можна подати у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних лінійно поляризованих хвиль. Відносно межі поділу поле електромагнітної хвилі подають так, що в однієї лінійно поляризованої хвилі вектор електричного поля лежить в площині падіння, а у іншої хвилі цей вектор перпендикулярний площині падіння. В першому випадку хвилю називають паралельно (або горизонтально) поляризованою, а в другому перпендикулярно (або нормально) поляризованою. Обидва варіанта наведено на рис. 5.1.

Коефіцієнти Френеля. Для знаходження коефіцієнтів Френеля (комплексних коефіцієнтів відбиття і проходження) припускають, що відбита і заломлена хвилі також є пласкими і лінійно поляризованими, та використовують граничні умови для тангенціальних складових.

Комплексний коефіцієнт відбиття вводиться як відношення тангенціальних або нормальних комплексних складових відбитої і падаючої хвиль:

, (5.2)

де  реально існуючий фізичний коефіцієнт відбиття, а аргумент _  зсув фази відбитої хвилі відносно падаючої. Для другого запису зсув фази _ + .

Аналогічно відносно заломленої та падаючої хвиль трактують значення модуля і аргументу комплексного коефіцієнта проходження

. (5.3)

Формули для розрахунку коефіцієнтів Френеля мають вигляд

, (5.4)

; (5.5)

для паралельної поляризації A₁ = cos, A₂ = cos_зал, а для перпендикулярної поляризації A₁ = cos_зал, A₂ = cos.

В разі падіння пласкої хвилі перпендикулярно межі поділу будь-яка площина, яка перпендикулярна площині поділу, буде площиною падіння. Визначення горизонтальної та нормальної поляризацій втрачають фізичний зміст. При цьому маємо  = _зал = 0 і A₁ = A₂ = 1. З (5.4) – (5.5) отримуємо прості формули

. (5.6)

Хвильові явища на межі поділу двох ідеальних немагнітних діелектриків. Відсутність втрат значно спрощує формули для розрахунку коефіцієнтів Френеля. Використовуючи другий закон Снелліуса (5.1), запишемо тригонометричну функцію

, (5.7)

необхідну для виконання числових розрахунків. З урахуванням (3.12) запис формул (5.4) – (5.6) приймає вигляд

, (5.8

, (5.9)

де для паралельної поляризації A₁ = cos, A₂ = cos_зал, для перпендикулярної поляризації A₁ = cos_зал, A₂ = cos, а cos_зал знаходиться за (5.7).

Фізичний аналіз почнемо з найпро- стіших формул (5.9). Коефіцієнти Фре- неля визначаються тільки відношенням діелектричних проникностей діелектри- ків ₂/₁. При зростанні ₂/₁ коефіцієнт відбиття зменшується при ₂/₁  1 (див. рис. 5.2), в точці ₂/₁ = 1 дорівнює нулю і зростає в діапазоні ₂/₁  1.

Коефіцієнт проходження монотонно зменшується, в діапазоні ₂/₁  1 його

Рисунок 5.2  Коефіціенти Френеля при =0

значення більше одиниці, в точці 2/1 = 1 дорівнюють одиниці, а в діапазоні 2/1  1 менше одиниці.

З формул (5.9) видно, що зсув фази заломленої хвилі відносно падаючої хвилі відсутній (_t= 0). Зсув фази відбитої хвилі _= 0 при ₂/₁  1. В діапазоні ₂/₁  1 і _= .

Тепер розглянемо падіння хвилі під кутом до поверхні поділу (формули (5.8)). Враховувати треба поляризацію падаючої хвилі і значення ₂/₁  1 або ₂/₁  1. Перед виконанням розрахунків знайдемо умови екстремальних значень .

Умова виконується тоді, коли у формулі (5.8). Для горизонтальної поляризації отримуємо т. з. кут Брюстера

, (5.10)

а для нормальної поляризації кут Брюстера не існує і .

Максимальне значеннядосягається незалежно від поляризації хвилі, але залежить від відношення діелектричних проникностей діелектриків. При ₂/₁  1 умова виконується тільки при куті падіння  = 90. У випадку ₂/₁  1 кут

заломлення більший кута падіння і при збільшенні

останнього наступає момент, коли кут _зал = 90. Кут

падіння, при якому _зал = 90, називають критичним

кутом падіння (рис. 5.3). З (5.8) розв'язання рівняння

призводить до простої формули

Рисунок 5.3  Критичний кут падіння

. (5.11)

Таким чином, при ₂/₁  1 в інтервалі кутів падіння _кр    90 коефіцієнт відбиття дорівнює одиниці . Розглянуте явище називають повним внутрішнім відбиттям. Докладніше його особливості будуть розглянуті нижче.

Для ₂/₁  1 коефіцієнт проходження зменшується із збільшенням кута падіння , максимальне значення відповідає точці  = 0, причому скрізь . Для ₂/₁  1 в інтервалі 0    _кр , параметр досягає максимуму в точці  = _кр, який дорівнює 2 в разі нормальної поляризації та у випадку горизонтальної поляризації. Далі в інтервалі _кр    90 коефіцієнт проходження зменшується до нуля при  = 90.

З формул (5.8) знаходяться зсуви фаз відбитої і заломленої хвилі. Заломлена хвиля знаходиться у фазі з падаючою, тому що _t = 0. Відбита хвиля має _ = 0, якщо , а при має зсув фази _= . На куті Брюстера _ = /2.

Допуск на відбиття. Часто потрібно, щоб у межах одного або декількох параметрів коефіцієнт відбиття не перевищував допуску на відбиття  заданого максимального значення . Якщо як параметр, що варіюється, прийняти кут падіння, то при горизонтальній поляризації нерівність виконується в деякому інтервалі кутів від ₁ < _Б до ₂ > _Б, причому ₁  0 тільки тоді, коли значенняменше значення коефіцієнта відбиття при  = 0. Інакше для обох поляризацій ₁ = 0.

Спрямовані хвилі на пласкій межі поділу двох ідеальних немагнітних діелектриків. Спрямованою називають хвилю, яка поширюється в заданому напрямку, обмеженому межею поділу різних середовищ. Спрямовані хвилі виникають у результаті ефекту повного внутрішнього відбиття при ₂/₁  1 та _кр    90, при цьому , а знаходяться з формул (5.8).

На рис. 5.4 зображено напрямок по- ширення спрямованої хвилі . Через те що довжини векторів однакові за рахунок, то вектор суми цих векторів

Рисунок 5.4  Утворення спрямованої хвилі спрямований вздовж площини поділу.

При цьому, як видно з рис. 5.5 (див. також рис. 5.1), у спрямованої хвилі з'являються

Рисунок 5.5  Утворення поздовжніх складових електромагнітного поля

спрямованої хвилі

поздовжні складові поля. При паралельній поляризації, окрім поперечних проекцій E_x, H_y, присутня поздовжня складова електричного поля E_z. Електромагнітні хвилі, у яких H_z = 0, E_z  0, називають E-хвилі, або хвилі електричного типу. При нормальній поляризації, крім поперечних проекцій H_x, E_y, присутня поздовжня складова магнітного поля H_z. Електромагнітні хвилі, у яких H_z  0, E_z = 0, називають H-хвилі, або хвилі магнітного типу.

Основні особливості спрямованої хвилі в середовищі 1:

а) спрямована хвиля є неоднорідною пласкою хвилею. Поверхні рівних фаз утворюють площини, перпендикулярні осі z, а максимальні амплітуди залежать від поперечної координати x;

б) на відміну від падаючої хвилі, яка має тільки поперечні компоненти, у спрямованої хвилі існують також поздовжні складові. У H-хвиль, які збуджуються при нормальній поляризації, H_z  0, E_z = 0. У E-хвиль, які збуджуються при паралельній поляризації, H_z = 0, E_z  0;

в) поперечні складові спрямованих хвиль мають однакові фази. Зсув фази H_z відносно поперечних H_x, E_y і зсув фази поперечних компонент E_x, H_y відносно поздовжньої E_z дорівнює /2;

г) фазова швидкість V_ф і швидкість перенесення енергії V_е залежать від кута падіння

(5.12)

і спрямовані вздовж осі z.

Аналіз простих формул (5.12) показує, що із зростанням кута падіння фазова швидкість зменшується, а швидкість перенесення енергії зростає. При цьому виконуються нерівності V_ф1 < V_ф< V_ф2, V_е2 < V_е< V_е1, а для  = 90 V_ф = V_е = V₁;

д) на відміну від падаючої хвилі з довжиною ₁, для спрямованої хвилі відстані, на яких зсув фази дорівнює 2, будуть різними вздовж координат x та z. Довжини хвиль обчислюються за простими формулами

(5.13)

Із збільшенням кута падіння значення _z зменшується, а значення _x зростає, причому _x > ₁, _z > ₁. При  = 90 хвиля поширюється вздовж межі поділу і _x  ;

е) вздовж осі x в результаті інтерференції падаючої і відбитої хвиль встановлюється стояча хвиля з довжиною хвилі _x. Максимуми напруженості поля дорівнюють подвоєній амплітуді падаючої хвилі, мінімуми  нулю, на межі поділу значення тангенціальних складових визначаються фазою коефіцієнта відбиття;

є) в точці  = _кр для нормальної поляризації _ = 2, для горизонтальної поляризації _ = . Із збільшенням кута падіння значення _ плавно зменшуються і при  = 90 стають на  менше;

ж) комплексний вектор Пойнтинга

(5.14)

має активну і реактивну складові. Реактивний потік потужності спрямований вздовж осі x, а активний потік потужності переноситься в напрямку осі z;

з) при ₂/₁  1 в інтервалі кутів падіння _кр    90 коефіцієнт відбиття дорівнює одиниці , тобто заломлена хвиля в середовище 2 надходити не повинна. Але на межі поділу мають виконуватися граничні умови для двох діелектриків. Тобто поблизу межі поділу в середовищі 2 існуватиме електромагнітне поле хвилі, яка поширюється вздовж межі поділу. Таку хвилю називають поверхневою хвилею.

Основні особливості поверхневої хвилі в середовищі 2:

а) джерелом збудження поверхневої хвилі є спрямована хвиля в середовищі 1. Через відсутність інтерференції хвиль у середовищі 2 _x2  . Інші особливості поверхневої хвилі в середовищі 2 ідентичні перерахованим властивостям спрямованої хвилі в середовищі 1, включаючи формули і нерівності;

б) при віддаленні від межі поділу всередину середовища 2 амплітуди поля інтенсивно загасають за експоненційним законом (x<0), де _x  коефіцієнт загасання вздовж напрямку

. (5.15)

Підкреслимо, що загасання в середовищі 2 обумовлено не кінцевою провідністю (₂ = 0), а умовами існування поверхневої хвилі;

в) якщо в середовищі 2 будуть втрати, ширина шару, у якому існує поверхнева хвиля, зменшуватиметься.

Заломлення пласкої хвилі в середовище з втратами (₂  0). В цьому випадку неможливо скористатися другим законом Снелліуса (5.1), тому що за рахунок втрат стає комплексним параметром. Реально існуючий кут заломлення в середовище з втратами

(5.16)

при незначних втратах мало відрізняється від кута заломлення в ідеальний діелектрик, а із збільшенням втрат зменшується. В інтервалі tg₂ = 10⁴…10⁸ реальний кут заломлення складає одиниці градусів навіть при великих кутах падіння (в районі 8090), а в діапазоні проникностей об'ємних металів  = (0,1…6,5)10⁷ См/м  менше, ніж 1. Це означає, що в добре провідних середовищах незалежно від кута падіння заломлена хвиля поширюється перпендикулярно поверхні поділу.

Коефіцієнти Френеля знаходимо за формулами (5.4) – (5.5) з урахуванням (5.16). Складові електромагнітного поля записуються аналогічно (3.15), якщо вісь z спрямована в середовище 2 по нормалі до поверхні (див. Електромагнітні хвилі в провідниках у розділі 3). Струм зосереджений в основному на поверхні провідника, на якій виконуються граничні умови Щукіна-Ритова-Леонтовича (4.15). Потік потужності в провідник характеризує втрати потужності електромагнітної хвилі, яка поширюється в середовищі 1. Застосування (2.7), (2.11), (2.12) дає просту формулу для розрахунку потужності втрат в середовищі 2

. (5.17)

В діапазоні проникностей об'ємних металів значення E_1t дуже незначне (див. Приклад 4.5 і завдання № 4.8). Тому при розрахунку втрат в металі структуру поля на його поверхні допускають таку ж, як на поверхні ідеального провідника, а у формулу (5.17) підставляють вираз для при ₂ = .

Перелічені закономірності характеризують т. з. поверхневий ефект.

Стоячі хвилі. Найпростішим прикладом стоячої хвилі може бути інтерференція падаючої і відбитої хвилі в середовищі 1, наприклад, при падінні хвилі перпендикулярно поверхні поділу. В цьому випадку для електричного поля стоячої хвилі

,

де коефіцієнт відбиття визначений формулою (5.6). Після найпростіших перетворень і з урахуванням орієнтації координат на рис. 5.5 знаходимо

. (5.18)

Для тангенціальної магнітної складової відбитої хвилі (див. (5.2)) зсув фази буде на  більший. Тому для магнітного поля стоячої хвилі

. (5.19)

З (5.18), (5.19) видно, що максимальні значення нормованої характеристики стоячої хвилі рівні , а мінімальні дорівнюють .

5.2 Ключові питання

1. Перший і другий закони Снелліуса. Поняття коефіцієнтів Френеля.

2. Поляризація електромагнітних хвиль відносно пласкої межі поділу.

3. Кут Брюстера. Критичний кут падіння. Допуск на відбиття.

4. Причини виникнення, основні особливості та типи спрямованих хвиль.

5. Назви, причини виникнення і основні особливості спрямованих хвиль в середовищі 2 в діапазоні кутів падіння, більших критичного кута.

6. Особливості поверхневого ефекту.

7. Математичний запис стоячої хвилі.