- •Математичечская статистика
- •1. Генеральная и выборочная совокупность данных
- •2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки.
- •3. Выборочные характеристики
- •1. Распределения Стьюдента и Пирсона
- •2. Таблицы распределения выборочных величин
- •1. Точечные оценки.
- •2. Методы построения точечных оценок
- •3. Интервальные оценки и алгоритм построения
3. Выборочные характеристики
Помимо полигона и гистограммы выборка характеризуется следующими числовыми величинами:
Основные характеристики
~ выборочное среднее;
~ выборочная дисперсия;
~ выборочное среднеквадратическое отклонение;
~ исправленная выборочная дисперсия;
~ исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение (выборочный стандарт)
Дополнительные характеристики
~ выборочный начальный момент порядка к;
~ выборочный центральный момент порядка к;
Причем .
Часто используются моменты 3-го и 4-го порядков в следующей форме:
~ выборочная асимметрия;
~ выборочный эксцесс.
В статистической практике рассматриваются так же групповые характеристики, например, в интервальных группах гистограммы выборки вычисляются средние интервальные значения и дисперсии.
Пример 3. Рассмотрим вычисление выборочных характеристик для выборки, представленной в примере 1. У этой выборки объема имеется m=13 вариант и столько же соответствующих им частот , которые расположены в первых двух столбцах таблицы.
Таблица 4
В последующих столбцах таблицы 4, в соответствие с методом сводных таблиц, приводится расчет выборочных моментов и выборочных характеристик через варианты и частоты выборки:
; ;;
;
; ;
; .
Отметим, что все приведенные числовые характеристики являются случайными величинами, поскольку получены по элементам случайно взятой выборки. На элементах другой выборки наблюдений над той же случайной величиной числовые характеристики в общем случае изменят свое значение, то есть характеристики являются функцией от выборки , например:
; .
Лекция № 11
Выборочные распределения
Если наблюдаемая случайная величина является нормальной, т.е где - математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, то случайная величина среднего выборочного так же является нормальной . Здесь нормальные случайные величины, совпадающие с наблюдаемой величиной. Рассмотрим стандартные нормальные величиныв виде:
,
и построим из них случайные величины Пирсона и Стьюдента.
Тогда получим [9,10]:
,
.
Отсюда видно, что случайная величина выборочной дисперсии DВ распределена пропорционально «Хи-квадрат» случайной величине с n степенями свободы, а отклонение выборочного среднего от математического ожидания распределено пропорционально T-величине Стьюдента с n-1 степенью свободы.
При сравнении двух выборок объемов n1 и n2 часто используется случайная величина Фишера со степенями свободы n1 и n2 :
.
1. Распределения Стьюдента и Пирсона
Распределения величин и известны аналитически в виде функции плотности распределения
здесь функция Эйлера, обладающая свойством , в силу которого при целом положительном имеет место
Графический вид функций плотности представлен ниже на рис. 11.1, 11.2 для различного количества степеней свободы.
Рис.11.1 Кривые «Хи-квадрат» распределения
Рис.11.2 Кривые распределения Стьюдента
Числовые характеристики распределений «Хи-квадрат» и Стьюдента следующие:
, , ,
Можно заметить, что с ростом числа степеней свободы, указанные распределения будут приближаться к нормальному распределению, что соответствует центральной предельной теореме теории вероятностей.