- •Математичечская статистика
- •1. Генеральная и выборочная совокупность данных
- •2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки.
- •3. Выборочные характеристики
- •1. Распределения Стьюдента и Пирсона
- •2. Таблицы распределения выборочных величин
- •1. Точечные оценки.
- •2. Методы построения точечных оценок
- •3. Интервальные оценки и алгоритм построения
3. Интервальные оценки и алгоритм построения
В отличие от точечных оценок типа *n интервальные оценки задают интервал значений где оцениваемый параметр находится с заданной вероятностью, т.е. это оценки типа Р( *n) =
Надежностью оценки (доверительной вероятностью) называется вероятность , с которой оцениваемый параметр находится в интервале
*n *n .
Полуширина доверительного интервала называется точностью оценки, соответствующей надежности . Для построения доверительного интервала (нахождения по величины ) необходимо знать закон распределения оценки случайной величины *n.
Пусть в выборке хВ = {х1, х2, …хn,} наблюдается нормальная случайная величина Х=N(a,) c неизвестными параметрами распределения а и . Построим доверительный интервал для математического ожидания а:
`хВ -a `хВ ,
принимая за точечную оценку а, величину а* =`хВ и учитывая что величина (`ХВ -а )/S = tn-1 имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Решение уравнение Р( `ХВ а) = относительно при заданном эквивалентно решению уравнения
или .
Его решение получим в виде =tgS/, где tg= tg(n-1) двухсторонняя квантиль Стьюдента (рис. 12.2).
Рис. 12.2 Двухсторонняя квантиль Стьюдента.
Построим теперь доверительный интервал для среднеквадратического отклонения
S - S .
Принимая за оценку величину S и учитывая, что величин S/ = n-1 имеет -распределение с n - 1 степенью свободы. Решение уравнение Р( S) = относительно при заданном эквивалентно решению уравнения
,
где обозначено, а , тогда получим его решение в виде ,
где величины являются правосторонними “хи-квадрат” квантилями (рис.12.3).
Рис. 12.3 Двухсторонняя “хи-квадрат”квантиль.
Пример: Пусть наблюдается выборка объемом n =16 со средним выборочным значением `хВ =20,2 и выборочной дисперсией DB = 0,6. Построить доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания а и среднеквадратического отклонения для надежности
Исправленная дисперсия S2 = (16/15)*0,6=0,64, а исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение S = 0,8.
По таблице квантилей для распределения Стьюдента в приложении 3 находим tg=tg(1-) = 2,13, тогда =tgS/= 2,13* 0,8/4=0,43 и доверительный интервал для математического ожидания а будет 20,2-0,43< a <20,2+0,43 или 19,77< a <20,63.
По таблице для квантилей 2–распределения в приложении 4 находим и тогда 0,591< <1,238
В указанных интервалах истинные значения неизвестных параметров находятся с вероятностью 0,95.