14. Приложение второй производной в механике

Пусть материальная точка движется неравномерно по закону S = f(t). Как было показано ранее скорость движения точки в момент времени t определяется по формуле v(t) = S (t). Скорость v(t) также есть функция от времени t. Тогда производная от скорости по времени называется ускорением и равна:

a = v (t) = S(t).

Ускорение неравномерного движения материальной точки является второй производной от пути по времени.

Пример 3 для контрольного задания № 2.

Тело движется прямолинейно по закону:

S = 3 – 2t + t³

Найти скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение

Находим первую производную от пути по времени:

v = S (t) = -2 + 3t², подставим t = 3, получим v(3)= 25.

Находим вторую производную от пути по времени:

а = S(t) = 6t, подставим t = 3, получим а(3) = 18.

Ответ: В момент времени t = 3 скорость движения тела равна 25 ед., ускорение движения равно 18 ед.

4.15Применение первой производной к исследованию графика функции

.

4.15.1Признаки возрастания и убывания функции.

Если первая производная у ( х) > 0 на интервале ( а,b ), то функция у(х) возрастает на этом интервале.

Если первая производная у (х) < 0 на интервале ( а,b), то функция у(х) убывает на этом интервале.

4.15.2. Необходимое и достаточное условия экстремума

Необходимое условие экстремума функции: Теорема Ферма. Если точка х₀ является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то у(х) = 0 .

Экстремум функции – это либо максимум функции, либо минимум функции. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

Достаточное условие экстремума функции:

Если производная у при переходе через точку х₀ меняет знак с «+» на «-», то точка х₀ является точкой максимума.

Если производная у при переходе через точку х₀ меняет знак с «-» на

«+», то точка х₀ является точкой минимума.

Если знак производной не меняется, то функция в точке не имеет ни максимума ни минимума.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует ( то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками первого рода.

4.15.3. Первое правило нахождения экстремумов

1. Найти производную f (х).

2. Найти действительные корни уравнения f (х) = 0.

3. Расположить корни уравнения х_1, х₂ … х_n в порядке возрастания на числовой оси, в результате ось разобъется на интервалы. В каждом интервале определить знак производной.

4. Выяснить какие корни являются точкой максимума, точкой минимума и какой корень не является точкой экстремума.

5. Найти значения функции в точках экстремумов.

4.16 Применение второй производной к исследованию графика

функции

4.16.1. Второе правило нахождения экстремумов

1. Найти производную f (х).

2. Найти корни уравнения f (х) = 0  х₁ , х₂ ,…

3. Найти вторую производную f  (х).

4. Если f ² (х₁) < 0 , то в этой точке максимум,

f ² (х₁) > 0, то в этой точке минимум,

f ² (х₁) = 0, то нужно обращаться к первому правилу.