4.16.2. Выпуклость и вогнутость кривой

Если вторая производная у(х) > 0 на интервале ( а, b). то график функции у(х) является вогнутой кривой на этом интервале, то есть он расположен выше любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.

Если вторая производная у(х) < 0 на интервале ( а,b), то график функции у(х) является выпуклой кривой на этом интервале, то есть он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику функции в точках этого интервала.

Точка, в которой вторая производная у(х) = 0 и при этом вторая производная меняет знак при переходе через эту точку, называется точкой перегиба графика функции.

Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (то есть стремится к бесконечности), называются критическими точками второго рода.

Пример 4 Для выполнения контрольного задания №2

Исследовать функцию у = х² – 16х на максимум и минимум с помощью первой производной, исследовать функцию на выпуклость и вогнутость

с помощью второй производной функции.

Решение

1. Найти производную данной функции:

у  = 2х – 16

2. Приравнять производную к нулю и найти корни (критические точки) уравнения: у = 0, 2х – 16 = 0, отсюда х = 8. Для удобства вынесем множитель 2:

2( х – 8) = 0.

3. Выясним, как производная меняет знак при переходе через точку х = 8

Возьмем значение х < 8, например, 7 и подставим в уравнение и найдем знак производной. Знак производной получился « - ». Значит, функция убывает при х<8.

Возьмем значение х > 8, например, 9 и подставим в уравнение и найдем знак производной, Знак производной получился «+». Значит, функция возрастает при х>8.

Производная меняет знак с « - » на «+» (с минуса на плюс), следовательно функция имеет минимум в точке х = 8.

4. Найдем минимальное значение функции в критической точке:

у = 8² – 128 = 64 – 128 = - 64.

Точка минимума функции (8, - 64) является вершиной параболы, а ветви параболы направлены вверх.

5. Найдем производную второго порядка, для этого продифференцируем первую производную, которая равна у = 2х -16. у  = 2. Вторая производная больше нуля, следовательно график функции является вогнутой кривой при всех значениях х.

4.17. Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х₁, у₁) имеет вид:

у – у₁ = f  (х₁) (х – х₁),

где угловой коэффициент k₁ в точке х₁ равен производной функции в этой точке.

Нормалью к кривой у = f(х) в данной её точке М(х₁,у₁) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания М. Угловой коэффициент в уравнении нормали к кривой имеет вид:

k₂ = -

4.18. Асимптоты кривой

Прямая y=kx + b называется наклонной асимптотой кривой y =f(x) при х  +, если

( f (x) – kx –b) = 0

Отсюда, k = , b = .

Если k = 0, то уравнение асимптоты имеет вид: у = b (горизонтальная асимптота).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если односторонние пределы функции в этой точке равны бесконечности. Обычно это точки разрыва второго рода.