1Стъюдент (Student) — псевдоним английского статистика и преподавателя Госсета (1876 — 1937)

Систематические погрешности.

Систематическими погрешностями Θх_i, называются погрешности, обусловленные физическими причинами, действующими одинаковым образом в ходе многократного повторения опытов при неизменных условиях.

Источниками этих погрешностей могут служить несоответствие условий измерения эксплуатационным нормам измерительных приборов (например, отличие температуры опыта от нормальной), неполная разработка методики измерений, неточная градуировка приборов и т.д. Например, если используемая в опыте 100 г гиря весит в самом деле 99 г, то определяемая ею масса будет завышена и для ее точного определения необходимо вычитать погрешность в 1 г.

Как видно из данного примера систематические погрешности час­тично могут быть устранены введением соответствующих поправок.

Однако, имеются и такие систематические погрешности, модуль и знак которых неизвестны - их называют неисключенными, и учитывают либо теоретически (пользуясь теорией вероятности), либо в специальных градуировочных опытах. В ряде случаев величину систе­матической погрешности 6х указывают в техническом паспорте прибора или на самом приборе. Так цифра 0,05 мм, указанная на штангенциркуле означает, что его систематическая погрешность в нормальных условиях не превышает Θх = 0,05 мм. В том случае, ког­да на приборе (инструменте) нет таких надписей систематическую погрешность считают равной половине цены деления данного прибора (инструмента): Θх=а/2 ( 12 ) , где а - цена деления.

Для электроизмерительных (и ряда других приборов) вводят класс точности прибора δ, который показывает, сколько процентов от всей действующей шкалы прибора (при используемом пределе измерений) x_maxсоставляет неисключенная систематическая погрешность Θх:

(13)

Класс точности обозначается цифрой от 0 до 5 и указывается на передней панели прибора. В частности, если вольтметром класса точ­ности δ=0.5 работающем на пределе U_max=100B измерено на­ пряжение в 10В, то соответствующая величина систематической по­грешности составит

(14)

Можно отметить, что относительный вклад систематической погрешности на измеряемую величину будет более весом для малых значений этой величины, (например, больше), поэтому измерения разумно проводить при отклонениях стрелки на большую часть шкалы прибора.

Таким образом, при прямых измерениях, когда искомое значение интересующей величины находят из опытных данных, пользуясь указанными приемами всегда можно найти величину систематической погрешности. При косвенном определении величины у, являющейся сложной функцией прямо измеряемых величин x_i для оценки систематической погрешности Θy пользуются известными формулами дифференциального исчисления.

Действительно, если ,

то

Считая далее , находим необходимую взаимосвязь

(15)

На практике выражения () зачастую оказываются сложными и неудобными для численных расчетов. Потому чаще пользуются формулой для расчета относительной систематической погрешности (). Она получается, если прологарифмировать выражение для у, а затем его продифференцировать:

(16)

Частные производные () при этом получаются проще (). Проиллюстрируем это на примере. Пусть

а) пользуясь (15) находим

т.е. ; и т.д.

б) пользуясь (16) имеем:

, где

Выведем, пользуясь (16) ряд полезных формул.

I. (17)

Видно, что в числителе погрешности Θx₁, и Θx₂ складыва­ются, а Θx₃ вычитается, что не является разумным с физической точки зрения, где систематические погрешности должны складываться с тем, чтобы по крайней мере, не занизить суммарную погрешность. Поэтом окончательно имеем:

(18)

II.

или с учетом сказанного

Аналогично, можно рассчитать выражения для других функций. Пользуясь приведенными формулами, рассчитаем относительную систематическую погрешность для плотности твердых тел, определяемой выражением:

Отметим, что. при расчете случайных погрешностей окончательные формулы были записаны для доверительной вероятности Р=0,95. С тем, чтобы привести в соответствие с этим условием и выражения для неисключенных систематических погрешностей Θу (или Θх ) их необходимо умножить на корректируемый множитель К. Для Р=0,95 К = 1,1, т.е.

III. К правилу формы представления погрешностей измерений.

Расчет случайных и систематических погрешностей необходим для определения результирующей погрешности измерения :

при Р=0.95

Окончательный результат при этом имеет вид:

(21)

Для корректной записи численного значения и необходимо пользоваться правилами округления. Обычно погрешность измерения выражают одной либо двумя (в случае высокоточных измерений) значащими цифрами в числе*², остальные округляют, либо отбрасывают. В самой измеряемой величине округляются цифры до порядка, соответствующего порядку первой значащей цифры в погрешности.

Пример:

а) целые числа:

х = 357348 μ 476 (до округления)

х = 357600 μ 500 (после округления)

б) дробные числа:

обычная точность измерений

х = 50,368 μ 0,183 (до округления)

х = 50,4 μ 0,2 (после округления)

повышенная точность измерений

х = 50,37 μ 0,18

____________________________________________

²Значащей цифрой называют первую цифру в числе отличную от нуля (например, в числе 0,53 первая значащая цифра соответствует десятым - т.е. пятерке)

5