1.5. Моделирование мембраны в среде Matlab

Смоделируем поведение мембраны при отклонении ее центра на 0,002 м. Построим плоскую модель мембраны – окружность радиусом 0,01 м. Затем зададим материал мембраны и ее отклонение с помощью опции PDE: для металлической модуль Юнга равен 89999998976 Н/м², коэффициент Пуассона равен 0.330000013, отклонение по оси Y 0.02. Для наглядного анализа результатов воспользуемся цветовой картой.

Рисунок 5 – Моделирование перемещения центра мембраны от начального положения.

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МАКРОУРОВНЕ

2.1 Исходные данные

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 7. В системе используется в качестве рабочей жидкости вверенное масло АУ. Материал трубопровода – латунь. Основные параметры системы и жидкости приведены в таблице 1. Параметры трубопроводов приведены в таблице 2.

Рисунок 7 – Схема гидравлической системы

Таблица 1 – Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м^3
	Вязкость	0,15·10^-4 м^2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1,7·10^8 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	9·10^10 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0,028
	Толщина стенки трубопровода	2,2 мм

^{Таблица 2 – Параметры трубопроводов}

^Обозначение	^Параметр	^Номер трубопровода
		^1	^2	^3	^4	^5
^dтр^, мм	^Диаметр трубопровода	^15	^15	^10	^20	^15
^l^,мм	^Длина трубопровода	^1,5	^1	^2	^0,55	^0,5
^ξ	^Коэффициент местных сопротивлений	^5	^3	^5,5	^2	^1,5
^P^, МПа	^Давление потребителей и насосов	^0,1	^0,15	^0,2	^500	^0 и 400

2.2 Графические формы математической модели гидросистемы

2.2.1 Динамическая схема. На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. Инерционными элементами называются сосредоточенные мамы, обладающие инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Диссипативные элементы отображают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 8 представлена полученная динамическая модель.

2.2.2 Орграф. На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви – компонентам математической модели. Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей – наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 9 представлен полученный орграф.

Рисунок 8 – Динамическая модель гидравлической системы

Рисунок 9 – Ориентированный граф гидравлической системы

2.2.3 Матрица инциденций. Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру свеязей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов – числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел – «1», если выходит – «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состояцей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 3.

А=[A_И, А_Д, А_У, А_В] (22)

Таблица 3 – Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Источники потенциалов					Упругие	Диссипативные
	m1	m2	m3	m4	m5	c1	Pb1	Pb2	Pb3	PH1	PH2
	-1	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0
2	0	-1	0	0	0	1	0	-1	0	0	0
3	0	0	-1	0	0	1	0	0	-1	0	0
4	0	0	0	-1	0	-1	0	0	0	1	0
5	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1
	AB					AУ	АД

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы

Из матрицы инциденций можно получить систему равнений (23), математически описывающие гидравлическую систему.

(23)

где А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций,

- векторы давлений,

- векторы расходов,

m, с, - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид: