2.4.2 Результаты статического анализа.

Программа для расчета фазовых координат при статическом процессе в математическом пакете MathCad 13 приведена в приложении 1. Индексы массивов для простоты начинаются с 1. Для достаточной точности применяется 5 итераций. Результаты вычислений приведены в таблице 5.

Таблица 5 – Результаты статического анализа

Фазовая коорд.	при Рн=0МПа	при Рн=400МПа
Q1, м^3/с	19.34	24.726
Q2, м^3/с	29	37.085
Q3, м^3/с	2.864	3.662
Q4, м^3/с	109.25	62.821
Q5, м^3/с	58.039	2.652
Pу1, 10^6 Па	302.1	386.2

2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, получающаяся из выражения (24), имеет вид:

(43)

где А – матрица Якоби,

- вектор фазовых координат,

- вектор-функции внешних воздействий,

- вектор функции внешних воздействий.

Для динамической модели матрицу Якоби можно сформировать на основе (24) и (28), аналогично статической модели:

(44)

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (43), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

(45)

где u₀ и u_k – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), которая в нашем случае имеет вид:

(56)

Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

(47)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера.

2.5.1 Выбор шага интегрирования. Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

, (48)

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

(49)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

(50)

где А – матрица Якоби динамической модели;

Е – единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (48), подставляя начальные значения фазовых координат:

(51)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

(52)

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad 13, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5 с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

>1

>1

>1

>1

>1

>1

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5с обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.

2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера. Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

(53)

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

(54)

где - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:

(55)

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 6х6 получаем:

(56)

- модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

(57)

Решение системы уравнений (54) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1. задание шага интегрирования h;

2. задание начальных значений фазовых переменных при t₀=0;

3. вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2… ;

4. вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;

5. решение системы уравнений (54) с целью определения в момент времени t_k+1;

6. переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы (24). В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений . Листинг программы, написанной в математическом пакете MathCad 13, для определения показателей качества переходного процесса приведена в приложении 2.

(58)