Внешняя задача гидродинамики Движение тел в жидкостях

1. Сопротивление движению тел

При движении тела в жидкости или при обтекании неподвижного тела движущейся жидкостью возникают сопротивления, для преодоления которых должна быть затрачена энергия. Сопротивление зависит от формы тела и режима движения.

При ламинарном режиме (малые w, d или μ ↑) тело окружено пограничным слоем жидкости и плавно обтекается потоком, энергия затрачивается только на преодоление силы трения.

При увеличении w ↑ поток отрывается от поверхности тела, образуя завихрения и области пониженного давления. Разность давлений характеризуется лобовым сопротивлением. Роль силы трения увеличивается с увеличением w. С некоторого значения Re роль сил трения незначительна и ей можно пренебречь – режим автомодельный по отношению к критическому Re.

Сила сопротивления среды находится по закону сопротивления:

R=ξSρw²/2 (1)

S – проекция тела на плоскости, перпендикулярной движению, м²;

w – скорость м/с;

ρ – плотность среды;

ζ - коэффициент сопротивления среды.

Преобразуем это уравнение, обозначив

т.е. для расчета ζ можно использовать критериальные уравнения.

Зависимости Re и ζ определяются режимом, наблюдаемым в жидкости:

1. Ламинарный Re<2

ξ =24/Re (2)

2. Переходный 2<Re<500

ξ =18.5/Re^0,6 (3)

3. Автомодельный 500<Re<2▪10⁵

ξ =0,44=const (4)

Для тел, отличных по форме от шара вводят фактор формы Ф и диаметр эквивалентного шара:

1) Ф=Fш/F (5)

F – площадь поверхности тела;

F_ш – площадь поверхности шара того же объема, что и тело.

2) d = диаметр шара того же объема, что и тело:

(6)

Таким образом:

Ф=0,806 – для куба; для цилиндра h=10r Ф=0,69. Ф определяется экспериментально и приводится в справочниках.

2. Осаждение частиц под действием силы тяжести

Свободное осаждение

Частица массой m (весом mg) падает под действием силы тяжести. При отсутствии среды w скорость w=gτ. Однако с увеличением ω будет возрастать сила сопротивления среды R=ξSρw²/2 и в некоторый момент времени R=F, т.е. движение станет равномерным. Скорость такого равномерного движения называется скоростью осаждения w_ос.

Сила, движущая тело, равна разности между силой тяжести и архимедовой силой: (7)

ρ_т – плотность тела;

ρ_ж – плотность жидкости.

Сила сопротивления:

(8)

Из равенства этих сил определяем скорость осаждения:

(9)

В ламинарном режиме ( ):

(10)

Из условий критических значений Re можно определить максимальный размер частиц, движущихся в определенной области:

(11)

Для ламинарного

(существует и нижний предел размеров частиц, когда d соизмерим с длиной свободного пробега молекул среды, влияет тепловое движение молекул. w_ос<w_ос расчет., поэтому делится на поправочный коэффициент).

Аналогично

В переходном режиме:(12)

В автомодельном:

(13)

Расчет ведут методом последовательных приближений: сначала допускают, что осаждение происходит в той или иной области, вычисляют w_ос, затем рассчитывают Re и проверяют, соответствует ли он той области, которая принята.

Для того чтобы избежать последовательных приближений используется метод Лященко:

(14)

Подставляя критический Re и соответств. ζ получают критические значения Ar:

а) ламинарная область

б) переходный режим

в) автомодельный режим

Скорость осаждения частиц некруглой формы меньше, поэтому расчетное w_ос умножают на поправочный коэффициент φ – коэффициент формы:

(15)

При значительной концентрации частиц в среде скорость, < w_ос, называется скоростью стесненного осаждения.