1.2 Логическая схема задач системного проектирования сложных объектов

Сложный процесс решения взаимосвязанных задач в форме блок-схем, динамических программ, граф-схем появился с появлением программирования и разработки метода анализа сложных систем. Формализация алгоритмов особенно интенсивно начала развиваться с возникновением понятия абстрактной программы в виде логических схем алгоритмов (ЛСА) и разнообразных граф-схем. Формальные модели представления вычислительного процесса были разработаны в основном для описания последовательных процессов [3, 6, 15].

Модель, отображающая возможность последовательно-параллельной реализации вычислительного алгоритма, описана в работе [17]. Но эти модели мало используются при решении слабоструктурированных проблем [28], характерных для анализа сложных систем. Рассмотрим схему построения решений проектирования сложного объекта, базирующегося на системном подходе к решению этой проблемы.

Построить логическую схему проектирования – это означает внести структуру (логично и процедурно организованную последовательность операций) в слабоструктурированный процесс поисковой разработки сложной системы. Примером построения последовательности выполнения операций является упорядочивание совокупности задач проектирования и процедур решения , что в данном случае изображено упорядоченным индексным множеством I [1, 5, 23].

Слабоструктурированной проблемой можно считать совокупность не полностью определенных задач проектирования, для которых не сконструированы схемы проектирования , т.е. не определены пятерки множеств (S, A, C, T, R), не синтезированы модели объекта проектирования. Характерной особенностью слабоструктурированной проблемы является то, что ее единственное решение строится на основе некоторых логически и процедурно необъединенных моделей, составляющих некоторые качества (грани) проблемы. В примере [12] с помощью модели D оценивается время процесса, с помощью А – качество (технология), с помощью С – стоимость. Внести структуру – это прежде всего построить многокачественную модель, объединяющую новыми связями , , доминирующие оценки, кот. характеризуют количественными показателями единственное решение R. Для построения ЛСП в не полностью структурированном процессе проектирования необходимо выполнить основные требования системного подхода [14] .

1. Выработать единство методологического подхода к составляющим всего комплекса задач при синтезе моделей объекта проектирования, построения схем и «замыкания» их через элементы , и в границах общей ЛСП.

2. Процесс решения Т должен иметь форму упорядоченной последовательности задач с выделением принципиальных проектных решений , получаемых на основе точно определенного состава данных (элементов множеств , и ) и моделей .

3. Основные альтернативы (неединства проектных решений при отображении ) должны быть интерпретируемыми в границах одних и тех же моделей объекта проектирования (на основе условий схождения процедуры решения ).

4. Критерии оценки и процесс выбора варианта должны быть алгоритмически совместимы с конкретной ЛСП и способами ее машинно-информационного обслуживания (для сохранения целостности ЛСП требовать данных , и интерпретаций моделями и вычислений не больше, чем создается в системном проектировании).

Как было показано, основой построения логической схемы проектирования является совокупность моделей объекта проектирования, упорядоченная согласно с принципом дедуктивизации. Для характеристики модели соответствующей i-той задачи , использовались индексы в виде . В логической схеме введем определенное упорядочение моделей, вследствие чего появится новая индексация моделей, которая будет четко обусловлена.

Структуру моделей в ЛСП будем рассматривать как структуру порядка в отличие от других фундаментальных структур: алгебраической и топологической. К алгебраической обратимся при построении элементов теории логико-динамических систем управления. Выбор структуры порядка в виде фундамента при разработке системы математических моделей сложного объекта проектирования является следствием системного подхода. В соответствии с ним выделены иерархические уровни в общем процессе проектирования, определены этапы построения проектных решений на каждом уровне, объединенных на основе дедуктивно-параллельного принципа в единую логическую схему проектирования.

Разработка структуры моделей и исследования ее свойств является целью образования эффективных средств решения слабоструктурированной проблемы, которой является проектирование сложных систем. Сложность рассматриваемой проблемы, ее актуальность и недостаточная исследованность, кроме непосредственно конструктивных построений подхода, методики, схемы проектирования и др., требует построения аксиоматики системного проектирования и, прежде всего, анализа решаемости задач системного проектирования. Эти и другие вопросы теоретического плана требуют также построения необходимых формализмов в виде математических моделей нового класса сложных логико-динамических систем, структуры моделей в системе проектирования элементов этой системы и ее компьютерно-информационного обслуживания.

Основой логической схемы проектирования, отображающей логику процесса системного проектирования сложных систем управления, является структура моделей объекта проектирования. Поэтому при определениях и описании структурных категорий используется много понятий процесса проектирования (формализованные A, C, S, R и неформализованные) и положений системного подхода. Это объясняется тем, что сама проблема системного проектирования является слабоструктурированной, и результаты ее исследования как аксиоматизованная теория – это дело будущего [29] .

Приведем сжатое описание системы моделей, после чего введем необходимые определения и построим структуру моделей, положенную в основу процесса системного проектирования сложных систем управления.

Выделенные четыре уровня рассмотрения свойств проектируемого объекта являются уровнями самостоятельных сложных задач, на первый взгляд независимых одна от другой. При более подробном исследовании задач установлено достаточно четкое единство всех задач по методике их решения. На каждом из уровней создаются три класса моделей объекта, упорядоченных по дедуктивно-параллельному принципу. Выходящими являются модели композиционной структуры. Архитектурные проектные решения, полученные в границах этих моделей, интерпретируются как начальные данные при построении проектных решений второго этапа в границах моделей функциональной структуры. Алгоритмические проектные решения этого этапа интерпретируются в виде начальных данных при построении проектных решений в границах моделей конструктивной структуры. Проектные решения этого этапа находят свое развитие в границах моделей устройств в заданном стандартизованном базисе. По такому же дедуктивно-параллельному принципу объединяются задачи проектирования между уровнями в границах начальных моделей композиционной структуры.

Определим конечное множество как индексное множество уровней формирования задач проектирования. Каждому уровню соответствует система моделей , составляющих подмножество полного множества моделей , таким образом, что . В границах каждого из уровней выделяются названные классы моделей композиционной, функциональной и конструктивной структур. Определим как индексное множество этапов проектирования. Модели d-го уровня упорядочены также в соответствии с дедуктивно-параллельным принципом. Очевидно, что на d-ом уровне упорядочиванию подлежит множество моделей

(1.6)

что, как видно, будет составлять элемент иерархической структуры моделей.

Дедуктивизация решения задач проектирования по уровням соответственно этапам для слабоструктурированных проблем будет иметь форму дерева. Определим как индексное множество цепочек в «вертикальном» поддереве моделей . В виде индексного множества цепочек в «горизонтальных» поддеревьях моделей определим . Таким образом, модель объекта проектирования при решении задачи d-го уровня на i-м этапе с использованием v-й цепочки решения между уровнями -й цепи решения между этапами обозначим . Для единственной цепочки решения между уровнями получим . Если между этапами также будет единственное решение, то будем иметь модель , принадлежащую матричной структуре моделей.

Отметим, что ЛСП отражает не структуру конкретной программы проектирования объекта, а структуру разработанного системного метода решения задач проектирования. В данном случае таким методом является сложный дедуктивный метод с распараллеленными уровнями проектирования. Схема каждого уровня построена по дедуктивному принципу, в которой этапы проектирования построены как параллельные поддеревья.

Будем считать, что задана ячейка ЛСП (дальше вопрос о ячейке ЛСП будет рассмотрен детальнее) с моделями, если задана совокупность пяти математических объектов: произвольного исчисляемого множества моделей М, конечного множества , проектных решений, конечного множества , , оценок элемента , называющихся начальной моделью объекта проектирования, и отображения множества F самого в себя, которое любому и любой оценке сопоставляет модель по данному проектному решению . Задать отображение F на М (отображение М в М) означает, что необходимо каждому элементу поставить в соответствие некоторое подмножество М [18]. Это подмножество обозначим через FM, и значит, FM=М. Структура моделей ЛСП может быть задана тремя эквивалентными способами: аналитическим, геометрическим и матричным. Запись:

(1.7)

обозначает произвольную структуру моделей (СМ).

Необходимо дать ряд формальных характеристик, с помощью которых можно оценивать СМ и которые в дальнейшем будут использованы для согласования СМ с логической схемой системного проектирования, построенной из элементов , , и .

Как определено, структура моделей, изображенная в виде графа, не имеет циклов, а значит, является графом, связанные компоненты которого являются деревьями. В дереве любые две вершины связаны единой цепочкой (причем эта цепь проста). Обозначим ее через . Длина цепи равна расстоянию р ()в данном дереве. Т.е. от начальной модели до любой из моделей i-го этапа проектирования, интерпретирующего проектное решение по оценке , существует единственная последовательность решений , представленная соответствующими моделями .

Определение 1

Оценку проектного решения в процессе проектирования можно получить не раньше построения упорядоченной последовательности решений , выполненных на соответствующей последовательности моделей .

Рассмотрим построение СМ в виде нагруженного дерева. Фиксируется вершина, соответствующая начальной модели объекта проектирования. Она определяется вершиной (моделью) первого ранга или корнем дерева. Из вершины первого ранга проводится m₁ дуг, называющихся дугами первого ранга, число которых равно числу проектных решений и оценок , построенных в границах модели объекта первого ранга. Каждая дуга заходит в вершину другого ранга, изображающего модель , соответствующую продолжению проектирования на другом этапе по результатам оценки проектного решения . Из множества вершин (мощности m₁) второго ранга порождается множество проектных решений (мощности m₂) на основе моделей и оценок . Каждая дуга (/) заходит в вершину третьего ранга, изображающую модель объекта проектирования на этом (третьем) этапе и т.д.

Введем понятие эквивалентности моделей объекта проектирования. В основе такого понятия для слабоструктурированных проблем находится недостаточно четко определенный термин взаимозаменяемости моделей объектов. Взаимозаменяемыми являются только те модели объекта, кот. владеют одним и тем же набором формальных признаков, существенных в данной ситуации. Будем считать, что модели , взаимозаменяемы, если они содержат всю информацию об объекте проектирования, которую можно представить формальными способами и которую получают при построении проектного решения данной задачи проектирования. Граф потока сигналов с числовой нагрузкой и соответствующая ему операторная матрица могут считаться взаимозаменяемыми моделями непрерывной многомерной линейной системы [12, 21]. Аналогичная взаимозаменяемость, очевидно, существует между графом переходов с логической нагрузкой и таблицей переходов конечного автомата [6, 20].

Свойство взаимозаменяемости моделей выразим через

, (1.8)

что означает, что модель взаимозаменяема с моделью по составу формальной информации, содержащейся в решении задачи проектирования .

Пусть Х – конечное множество моделей, в которых некоторые модели взаимозаменяемы, Х_М – множество моделей, взаимозаменяемых с моделью М. Очевидно, . Множеству Х принадлежат модели , имеющие в границах Х взаимозаменяемые модели, т.е. . Объединение всех подмножеств сходится с множеством

. (1.9)

Допустим, что пересечение таких множеств не пустое, т.е. . Таким образом, существует такая модель , что и при . Эта модель имеет убыточный состав формальных признаков в каждом из этих случаев, поскольку ; , т.е. существует модель с интегральными свойствами по отношению к двум задачам проектирования и . Этот случай положен в основу при построении гибридных функций и разработке моделей логико-динамических систем управления [14].

Распределение множества моделей М на классы (подмножества) , , … можно определить при условии существования отношений:

1) ;

2)  при ij.

Отношение i на множестве М называется эквивалентностью, если существует распределение множества М такое, что соотношение и выполняется тогда и только тогда, когда и принадлежат некоторому общему классу данного распределения. Как такой класс рассматривается этап проектирования по решению задачи , когда , где ; I – индексное множество этапов проектирования d-го уровня.

Изобразим формальными способами структуру моделей ЛСП. Практика системного подхода к разработке систем логико-динамического класса дает возможность установить некоторые предположения касающиеся состава моделей и их организации.

Проектные решения , имеющие принципиальное значение и являющиеся началом конструирования дерева вариантов в границах всего проекта, уровня проектируемого объекта и др., строятся на фиксированной начальной модели , в границах которой анализируются сопоставления проектных решений , i=1, 2, … , I, по системе оценок . Модель является начальным элементом точного порядка, заданного на множестве моделей , называющимся корнем дерева моделей.

Определение 2

Отношение последовательности «<» на множестве моделей называется отношением древовидного порядка (g-порядка), если:

1. из того, что и следует, что и – соизмеримы в понимании отношения i;

2. в множестве <M, <> существует начальный элемент.

Пару <M, <> будем называть деревом моделей, а начальный элемент – корнем дерева. Условие 1) означает, что для любого элемента понятие сопоставимости распространяется только на индексные множества цепочек N,  дерева. Модели разных этапов проектирования и тем более уровней несопоставимы, поскольку не определена общая задача проектирования, а с ней и оценки проектных решений без отношения к конкретному уровню d и этапу i. Сопоставимыми могут быть модели полностью параллельной схемы проектирования, когда высота дерева равна единице для всех вариантов. Модели с наибольшим индексом являются конечными для данного уровня d проектирования. Постулированные выше три класса моделей (композиционной, функциональной и конструктивной структур) определяют минимальную высоту h дерева моделей h_min=3 в границах d-го уровня. Каждая из моделей , i<r является корнем конечного числа отростков (ветвей) , порождаемых проектными решениями ( – мощность множества отростков (ветвей) на (i+1)-ом этапе) Каждая из конечных моделей соединена единой цепью с начальной моделью уровня, поскольку для любой модели , отличной от начальной, существует единая модель , для которой выполнено отношение «непосредственной последовательности» в обратном (редуктивном порядке). В процессе проектирования строятся оценки по всем этапам проектирования, накапливается статистика оценок «вдоль» цепочек , , конструирования проектных решений . Кроме высоты дерева моделей h_z и его ширины b (b=_max – максимальное число проектных решений , построенных в границах одной модели ), полезно построить характеристику сложности конечного дерева моделей в рекуррентной форме. Сложность вершины с моделью определяется рекуррентным правилом:

, (1.10)

где – единственная модель, для кот. . А значит, сложность вершины характеризуется количеством отростков (ветвей), выходящих вниз из этой модели и сложностью вершины предыдущего яруса, соединенного с .

Сложность дерева определяется как суммарная сложность его вершин.

. (1.11)

Для i-го этапа проектирования определим сложность i-го яруса дерева L в виде

. (1.12)

Возрастание дерева моделей между двумя этапами получим из соотношения:

. (1.13)

Вдоль всего уровня проектирования возрастание дерева моделей характеризуется

. (1.14)

Существенной характеристикой дерева моделей является сложность окрестности -й цепи построения проектных решений в виде

. (1.15)

На основе приведенных характеристик строятся оценки емкости задач перебора, конструируются размеры форматов в методах экспертных оценок, уточняется много важных подходов и показателей статистического характера в задачах системного анализа.

Существенным отличием логической схемы решения задач системного проектирования от обычной одномерной (неиерархической) схемы реализации отдельных методов проектирования является не формальный аппарат, дающий возможность сконструировать ту или иную процедуру решения, а переход к новым обобщающим структурам, что дает возможность сконструировать полную систему взаимосвязанных проектных решений с помощью логического объединения конечного множества реализаций отдельных методов проектирования, на разных уровнях исследования объекта.

При системном подходе в задачах проектирования сложных объектов возникает ряд проблем теоретического и инженерного характера, главной из которых является создание логической схемы проектирования, выполняющей функции алгоритма построения проектного решения , что составляет совокупность решений, полученных для автономно нерешаемых задач . Логическая схема организовывает объединенную процедуру решения , элементами которой являются реализации отдельных формальных методов проектирования, общение человека-исследователя с ЭВМ для реализации эвристик в отсутствии готовых (сконструированных) процедур решения, оценки и выбора вариантов проектных решений, единственность которых не определена из-за слабой структуризации задачи проектирования.

Логическая схема системного проектирования дает возможность определить соответствие вычислительной системы (ее математического обеспечения и технического оборудования) структурам класса процедур решений системного проектирования, реализующегося средствами компьютерно-информационного обслуживания. Это означает, что достаточно полно разработанная ЛСП является необходимым началом синтеза структуры вычислительной системы с ее проблемно-ориентированным программным обеспечением. Такое начало изображается в виде функционально полной совокупности моделей объекта проектирования , элементов этих моделей , связей между ними , а также полного состава операций с моделями и их связями на всей совокупности процедур решений и их взаимосвязей.