Определение объёма. Объем тела вращения.
.Тогда пусть
,
фигуры, которые удовлетворяют условию:
;
.
Тогда
внешний объем равен:
,
а внутренний:
.
Если
,
то множество
- кубируемое.
Лемма: (объем цилиндра)
-
множество
точек плоскости, удовлетворяющих условию
и
, то
- цилиндр. Его объем равен:
.
Так как
- квадрируемое множество, то:
.
Значит
;
,
соответственно
.
Значит объем цилиндра равен
.
Теперь непосредственно рассмотрим вращение произвольное тело вращения.
Пусть
-
есть произвольная непрерывная функция,
причем
на отрезке
.
Будем вращать данную кривую на отрезке
вокруг оси
.
Получим тело вращения
.
Разобьем отрезок
:
.
Пусть
,
.
Рассмотрим два цилиндра
и
(см.
рис. )
,
.
Теперь пусть
и
.
Нетрудно видеть , что
и
.
Это означает, что если функция
интегрируема на отрезке
,
то
и
.
При вращении вокруг оси
формула примет вид
.
Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:
.
Значит объем шара равен:
.
Билет 50
Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Пусть Г есть гладкая
кривая определенная функциями
,
,
имеющими на [a,b]
непрерывные производные. Введем разбиение
и составим сумму
,
представляющую
собой длину ломаной, вписанной в Г с
вершинами в точках, соответствующих
значениям
.
Имеем тогда (
В
первом равенстве цепи мы воспользовались
теоремой о среднем.
Чтобы обосновать,
что
,
введем вспомогательную функцию
очевидно
непрерывную на кубе
Модуль ее непрерывности на
обозначим через
. Так как расстояние между точками (
не превышает
,
то
и потому
.
Мы доказали, что длина гладкой кривой существует и выражается формулой
(1)
При замене переменной
при помощи непрерывно дифференцируемой
функции
получим, очевидно,
где
что показывает инвариантность определения
длина дуги.
Если кривая
(плоская) задана уравнением
где
имеет непрерывную производную на [a,b],
то, очевидно, ее длина дуги выражается
формулой
(надо положить в
формуле (1) t=x,
y=f(x),
z=0).
Пример 1:
