Лекция 5-6. Производственные функции.

Понятие производственных функций. Производственные показатели. Функция Коба-Дугласа. Исследование деятельности предприятия.

Основным приложением корреляционно-регрессионного анализа является производственные функции. Производственные функции бывают одномерные и многомерные т.е. y=f(x) и y=f(x₁,x₂,…x_n), где у - конечный результат, х, x₁,x₂,…x_n показатели, непосредственно влияющие на конечный результат.

Аналитический вид производственных функций определяется методами К-Ра на основе фактических значений всех рассматриваемых показателей, собранных на конкретном предприятии за определенный период времени. Интервалы времени между моментами, когда фиксировались значения показателей, зависит от того, как будет организовано прогнозирование рассматриваемого конечного результата или других независимых показателей. Если прогнозирование будет осуществляться на год или два вперед, то интервалы времени – год или пол года, если прогнозирование помесячное, то и интервал времени не должен быть больше чем месяц.

Предположим, что определен аналитический вид зависимости согласно всем правилам К-Ра. Можно получить некоторые производственные показатели на основе имеющейся производственной функции. Средняя отдача, как новый конечный результат, показывает сколько независимого показателя приходится на единицу конечного результата. Формально это запишется так:

.

Предельная отдача рассматривается математически как частная производная функции по отдельно взятому аргументу. В эконометрических исследованиях предельная отдача показывает как прямо или обратно влияет какой-то показатель на конечный результат.

.

Если Z₂ имеет положительный знак, это значит, что с увеличением показателя x_k увеличится и конечный результат у. Аналогично, если знак Z₂ отрицательный, то с увеличением значения x_k, значение у будет уменьшаться. Важным показателем является эластичность конечного результата по отношению к какому-то независимому показателю. Эластичность определяется таким образом

.

Практически этот показатель предопределяется как изменяется величина конечного результата у, если на один процент увеличим значение показателя x_k. В некоторых случаях пользуется коэффициент заменяемости k_ij, определяющий какую долю показателя х_j можно заменить показателем х_i чтобы при этом величина конечного результата не изменилась:

.

Однако это можно осуществлять, исходя из конкретных независимых показателей. Не всегда доля одного показателя может заменять долей другого показателя.

Классическим примером производственных функций является функция Кобба-Дугласа. Она была предложена и обоснована американскими учеными (математиком и экономистом) Коббом и Дугласом и показывает зависимость объема производства от материальных и трудовых затрат. Пусть у – означает объем производств, х₁ и х₂ материальные и трудовые затраты соответственно, тогда зависимость такая:

.

В некоторых случаях рассматривается и линейный вид функции Кобба-Дугласа, т.е.

.

Линейный вид функции лучше аппроксимирует фактические значения показателей, однако степенной вид лучше для исследования самой производственной функции и прогнозирования значений.

Рассмотрим производные показатели, используя сначала степенной вид функции Кобба-Дугласа. Средняя отдача в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Средняя производительность труда

,

и средняя фондоотдача

.

Если используется линейный вид функции Кобба-Дугласа, тогда средняя производительность труда

,

и средняя фондоотдача

.

Предельная производительность труда согласно формам записи функции Кобба-Дугласа

,

или

.

Предельная фондоотдача

,

или

.

Отсюда следует, если рассматривалась степенная форма записи функции Кобба-Дугласа, то производные показатели выражаются в виде функции, а если линейная форма, то в виде константы. Имея функцию можно вести ее дальнейшее исследование. Вторая производная функции показывает ускорение, т.е. во сколько изменится величина конечного результата, если дадим определенный прирост аргумента, т.е. независимого показателя. В нашем случае, если изменим трудовые затраты или материальные - как изменится производительность труда или фондоотдача.

Рассмотрим эластичность объема выпуска продукции как по отношению к материальным, так и по отношению к трудовым затратам. Для случая степенного вида функции

,

.

Очевидно, что показатель степени непосредственно является и величиной эластичности.

Для случая линейного вида функции

,

.

В этом случае значение эластичности необходимо вычислить. Частная или вычисляются как средние значения соответствующих фактических значений рассматриваемых показателей т.е или

- где

Доказано [2], а в принципе и очевидно, поскольку эластичности ₁ и ₂ являются величинами из интервала (0,1), этот факт используется при исследовании на эффективность функционирования предприятия, для которого определена функция Кобба-Дугласа. Рассматривается сумма эластичностей r=₁+₂. Считается, что предприятия работает эффективно если r>1, нормально если r=1, и не эффективно если r<1. По значениям эластичностей ₁ и ₂ можно определить трудоемкое или материалоемкое производство. Если ₁>₂ – производство трудоемкое, если ₁<₂ материалоемкое, это следует из определения эластичности.

Пример.

Для предприятия А были собраны по полугодиям статистические данные о объеме производства, материальным и трудовым затратам. Объем выборки составило 7 полугодий. На основе выборки методом наименьших квадратов определена и проверена на достоверность функция Кобба-Дугласа при предложении, что ее вид степенной. Функция следующая:

.

Функция производительности труда имеют следующий вид:

.

Функция фондоотдачи запишется так:

.

Эластичности объема выпуска по материальным и трудовым затратам - ₁=0,62 и ₂=0,43 соответственно. Анализ деятельности предприятия таков. Предприятие работает эффективно: ₁+₂=0,62+0,43=1,05>1. Производство трудоемкое, чтобы увеличить на один процент объем выпуска продукции, необходимо трудовые затраты увеличить на 2,3%, а материальные только на 1,6%.

Рассмотрим производительность труда и фондоотдачу. Если на один процент увеличим трудовые затраты производительность труда уменьшение на 0,57%, аналогично, при увеличении на один процент материальных затрат фондоотдача уменьшится на 0,38%. Естественно, если при этом не меняется объем выпуска продукции.

Прогноз на восьмое полугодие таков. Если возможно увеличить материальные затраты на один процент, то уровень производства увеличится на 0,62%, а если увеличить трудовые затраты на один процент, то уровень производства увеличится на 0,43%. При необходимости увеличить объем выпуска продукции на два процента, можно поступить так, либо увеличить материальные затраты на 3,2%, либо трудовые на 4,6%, либо на два процента материальные и на полтора – трудовые. Поступить можно так, как будет более целесообразно. Возможно и другие варианты изменения материальных и трудовых затрат.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое производственные функции?

2. Как определить производственную функцию для конкретного предприятия?

3. Чем отличается средняя отдача от предельной отдачи?

4. Когда и как определяется эластичность конечного результата по отношению к какому –то независимому показателю?

5. Как определить функцию Кобба-Дугласа для конкретного предприятия и для отрасли?

6. Как определить производительность труда и фондоотдачу исходя из функции Кобба-Дугласа?

7. Как организовывать прогнозирование уровня производства, исходя из функции Кобба-Дугласа?

8. Как определить величину материальных и трудовых затрат, если известен прогнозный уровень производства?