- •Тема 5. Наближення та інтерполяція функцій
- •2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •3. Похибка інтерполяції многочленом Лагранжа
- •Інтерполяція многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами
- •Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5. Наближення функцій, заданих таблично, методом найменших квадратів
- •Алгоритм наближення функції, заданої таблично, методом найменших квадратів
- •Тема 6 Чисельне диференціювання й інтегрування
- •1. Наближення похідних
- •2. Похибка чисельного диференціювання
- •3. Чисельне інтегрування. Поняття про квадратурні формули.
- •4. Найпростіші квадратурні формули
- •1) Формули прямокутників
- •2) Формула трапецій
- •3) Формула Сімпсона (формула парабол)
- •5. Похибки квадратурних формул
- •6. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
- •1) Метод Ейлера
- •2) Метод Рунге-Кутти
2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
Інтерполяційний многочлен може бути записаний не тільки у формі (2). Існують і інші форми зображення інтерполяційного многочлена, які можна записати одразу через вихідні дані задачі, тобто через , , не розв'язуючи систему (3).
Теорема. Інтерполяційний многочлен може бути записаний у формі
(4)
яка називається інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Коефіцієнти
многочлена (4) називаються коефіцієнтами Лагранжа або лагранжевими коефіцієнтами.
Єдиність зображення інтерполяційного многочлена у вигляді (4) випливає з єдиності розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3).
Досить поширеними випадками З формули (4) можна отримати вирази для лінійної () і квадратичної () інтерполяції.
При маємо многочлен першого степеня:
;
При маємо многочлен другого степеня:
Зауважимо, що оскільки інтерполяційний многочлен (4) лінійно залежить від значень функції , то інтерполяційний многочлен суми двох функцій дорівнює сумі інтерполяційних многочленів доданків (коли вузли інтерполяції збігаються).
Для запису інтерполяційного многочлена Лагранжа зручно користуватися таблицею:
-
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Тут – добуток елементів -го рядка, – добуток елементів головної діагоналі, , .
Тоді многочлен Лагранжа може бути записаним в формі:
. (5)
Приклад 1. Для функції , заданої таблицею своїх значень, побудувати інтерполяційний многочлен 3-го степеня у формі Лагранжа. Обчислити значення функції в точці .
-
0
1
2
3
2
3
4
5
7
5
8
7
Розв’язання. Побудуємо многочлен Лагранжа. Для цього побудуємо таблицю:
–1 |
–2 |
–3 |
7 |
||
1 |
–1 |
–2 |
5 |
||
2 |
1 |
–1 |
8 |
||
3 |
2 |
1 |
7 |
||
За формулою (5) одержимо:
.