- •Тема 5. Наближення та інтерполяція функцій
- •2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •3. Похибка інтерполяції многочленом Лагранжа
- •Інтерполяція многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами
- •Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5. Наближення функцій, заданих таблично, методом найменших квадратів
- •Алгоритм наближення функції, заданої таблично, методом найменших квадратів
- •Тема 6 Чисельне диференціювання й інтегрування
- •1. Наближення похідних
- •2. Похибка чисельного диференціювання
- •3. Чисельне інтегрування. Поняття про квадратурні формули.
- •4. Найпростіші квадратурні формули
- •1) Формули прямокутників
- •2) Формула трапецій
- •3) Формула Сімпсона (формула парабол)
- •5. Похибки квадратурних формул
- •6. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
- •1) Метод Ейлера
- •2) Метод Рунге-Кутти
3. Похибка інтерполяції многочленом Лагранжа
При визначенні значення , , для функції , за допомогою многочлена Лагранжа виникає похибка інтерполяції :
. (6)
Якщо відносно функції нічого не відомо, крім її значень у вузлах інтерполяції, то ніяких корисних висновків відносно похибки зробити неможливо. Одержимо вираз похибки інтерполяції у припущенні, що , тобто – функція неперервна разом зі своїми похідними на відрізку , що містить всі вузли інтерполяції , ,і точку .
Теорема. Якщо , відрізок містить всі вузли інтерполяції, то для довільного значення
, (7)
де – многочлен -го степеня, а – деяка невідома точка.
З формули (7) одержуємо оцінку похибки інтерполяції в деякій довільній фіксованій точці :
,
та оцінку максимальної похибки на усьому відрізку :
де .
Інтерполяція многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами
Розглянемо особливості побудови інтерполяційного многочлена Лагранжа у випадку рівномірного розподілу вузлів.
Нехай , , – вузли інтерполяції, – крок, – задані значення функції , причому .
Введемо безрозмірну незалежну змінну
,
Тоді вузлу відповідає
і, окрім того, виконуються співвідношення
,
При цьому інтерполяційний многочлен Лагранжа, що відповідає випадку записується у вигляді:
.
У загальному випадку інтерполяційний многочлен Лагранжа (4)
одержить наступний вигляд:
,
де
.
Оскільки
,
де ,
залишковий член інтерполяційного многочлена може бути поданий у вигляді
.
Зауважимо, що з означення виходить, що зміні змінної на відрізку відповідає зміна змінної на відрізку . Тому оцінку максимальної похибки інтерполяції на відрізку можна записати у наступному вигляді:
,
де .
Величина не залежить від . Її можна заздалегідь обчислити чи оцінити. Зокрема, .
Враховуючи, що , можна зробити висновок, що максимальна похибка інтерполяції на відрізку , тобто
.
Зауважимо, що (враховуючи ) при зменшенні кроку вдвічі права частина оцінки зменшиться мінімум у разів.
Виходячи з підсиленої оцінки, що одержується з нерівності , у яку замість підставлене , вибирають крок таблиці значень функції на відрізку з тим щоб забезпечити задану точність інтерполяції. При цьому є ще можливість змінювати у деяких границях ступінь інтерполяційного многочлена. Якщо функція достатньо гладка, то підвищення спочатку, як правило, веде до підвищення припустимого , але, з другого боку, ускладнює інтерполяцію і підсилює вплив неусувних похибок табличних значень. На практиці рідко використовують інтерполяцію з .
Зауваження. При заданому вузли інтерполяції , розташовані з кроком , доцільно вибирати з сукупності усіх вузлів заданої таблиці функції так, щоб точка опинилась як можна ближче до середини відрізку . Це пов’язано з тим, що коливання функцій (та ) поблизу середини згаданого відрізку менше, ніж у його кінців.
-
Інтерполяційний многочлен Ньютона
Розглянемо побудову інтерполяційного многочлена у випадку рівномірного розподілу вузлів. Нехай , , – крок.
Введемо поняття скінченних різниць. Нехай відомі значення функції у вузлах : . Складемо різниці значень функції:
;
;
……………………………………………….
.
Ці значення називаються першими різницями або різницями першого порядку функції.
Можна скласти другі різниці:
, , …
Аналогічно складаються різниці -го порядку:
, .
Скінченні різниці можна виразити безпосередньо через значення функції:
:
.
Аналогічно для різниці -го порядку:
(8)
Теорема. Інтерполяційний многочлен може бути записаний у формі
. (9)
яка називається інтерполяційним многочленом Ньютона.
Інтерполяційний многочлен Ньютона (9) можна записати у вигляді:
, де .
Приклад 2. Для функції , заданої таблицею своїх значень, побудувати інтерполяційний многочлен 3-го степеня у формі Ньютона. Обчислити значення функції в точці .
-
0
1
2
3
2
3
4
5
7
5
8
7
Розв’язання. Побудуємо многочлен Ньютона. Для цього побудуємо таблицю, в якій обчислимо скінченні різниці:
2 |
7 |
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
3 |
5 |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
–9 |
4 |
8 |
|
–4 |
|
|
|
–1 |
|
|
5 |
7 |
|
|
|
За формулою (9) одержимо:
.
Порівнюючи з результатом прикладу 1, можна зробити висновок, що , що підтверджує єдиність розв'язку задачі інтерполяції в класі многочленів, які задовольняють умовам теореми про єдиність розв'язку задачі інтерполяції.