- •Тема 5. Наближення та інтерполяція функцій
- •2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
- •3. Похибка інтерполяції многочленом Лагранжа
- •Інтерполяція многочленом Лагранжа з рівновіддаленими вузлами
- •Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •5. Наближення функцій, заданих таблично, методом найменших квадратів
- •Алгоритм наближення функції, заданої таблично, методом найменших квадратів
- •Тема 6 Чисельне диференціювання й інтегрування
- •1. Наближення похідних
- •2. Похибка чисельного диференціювання
- •3. Чисельне інтегрування. Поняття про квадратурні формули.
- •4. Найпростіші квадратурні формули
- •1) Формули прямокутників
- •2) Формула трапецій
- •3) Формула Сімпсона (формула парабол)
- •5. Похибки квадратурних формул
- •6. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь
- •1) Метод Ейлера
- •2) Метод Рунге-Кутти
5. Наближення функцій, заданих таблично, методом найменших квадратів
Нехай функція задана своїми значеннями в різних точках з відрізку , які позначимо , . І нехай за апроксимуючу функцію взято многочлен .
За міру відхилення многочлена від даної функції на множині точок приймають величину
,
, де .
яка дорівнює сумі квадратів відхилень значень від значень функції на заданій системі точок.
Очевидно, що є функцією коефіцієнтів :
.
Ці коефіцієнти треба підібрати так, щоб величина була найменшою. В цьому і полягає метод найменших квадратів. Отриманий при цьому многочлен називається апроксимуючим для даної функції, а процес побудови цього многочлена називається точковою квадратичною апроксимацією.
В теорії ймовірностей доводиться, що отримані таким методом значення параметрів найбільш ймовірні, якщо відхилення підлягають нормальному закону розподілу.
Щоб дослідити функцію на мінімум, знайдемо її частинні похідні по всім змінним і прирівняємо їх нулю:
, , …, .
;
;
……………………………………………………………
.
;
;
……………………………………………………………
Введемо позначення:
()
()
Тоді отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
(10)
Можна довести, що якщо серед точок немає співпадаючих і , то визначник цієї системи відмінний від нуля і, отже, ця система має єдиний розв'язок. Інтерполяційний многочлен з такими коефіцієнтами і буде мати мінімальне квадратичне відхилення.
Середньоквадратична похибка
.
Якщо , то апроксимуючий многочлен збігається з інтерполляційним многочленом Лагранжа для системи точок , причому .
Алгоритм наближення функції, заданої таблично, методом найменших квадратів
-
Обчислити коефіцієнти , , , , по заданій таблицею функції і записати систему лінійних алгебраїчних рівнянь (10)
-
Розв’язати отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь і знайти коефіцієнти .
-
Записати шуканий апроксимуючий многочлен.
Приклад 3. Застосовуючи метод найменших квадратів, наблизити функцію , заданої таблицею своїх значень, многочленами а) 1-ого й б) 2-ого степенів. Для кожного наближення визначити величину середньоквадратичної похибки. Побудувати точковий графік функції і графіки многочленів.
-
0
1
2
3
2
3
4
5
7
5
8
7
Розв’язання. а) Нехай степінь апроксимуючого многочлена , тоді він матиме вигляд:
.
-
Для обчислення коефіцієнтів системи
побудуємо розрахункову таблицю:
-
1
2
7
1
4
14
3
5
1
9
15
4
8
1
16
32
5
7
1
25
35
14
27
4
54
96
В результаті одержуємо:
2. Розв’язуємо отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
, .
3. Шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд:
.
Визначимо середньоквадратичну похибку
.
б) Нехай степінь апроксимуючого многочлена , тоді він матиме вигляд:
.
1. Для обчислення коефіцієнтів системи
побудуємо розрахункову таблицю:
-
1
2
7
1
4
8
16
14
28
3
5
1
9
27
81
15
45
4
8
1
16
64
256
32
128
5
7
1
25
125
625
35
175
14
27
4
54
224
978
96
376
В результаті одержуємо:
2. Розв’язуємо отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
, , .
3. Шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд:
.
Визначимо середньоквадратичну похибку
.
Побудуємо точковий графік функції і графіки многочленів.
На малюнку зображені точковий графік функції і графіки апроксимуючих многочленів при і при , а також інтерполяційний многочлен, отриманий в прикладах 1 і 2 ().