- •Цель изучения курса.
- •Классификация экономико – математических моделей.
- •3. Порядок построения экономико-математических моделей
- •4. Применение элементов линейной алгебры в экономике.
- •Общая постановка задачи прогноза
- •Модель Леонтьева для многоотраслевой экономики
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Линейная модель торговли
- •Микроэкономика
- •10. Микросистема и основные характеристики
- •11. Спрос. Функция спроса.
- •12. Альтернативная стоимость и граничный анализ.
- •13. Эластичность спроса
- •14. Изменение дохода
- •15. Перекрестная эластичность
- •16. Эластичность по доходу
- •17. Предложение
- •18. Взаимодействие спроса и предложение в условии частичного равновесия
- •19. Динамическое равновесие
- •20. Государственная регулировка рынка
- •21. Изменения в равновесии после введения опоследованого налога
- •22. Распределение налогового «давления» между потребителями и продавцом
- •23. Методы регулирования рынка
- •24. Использование квот
- •25. Эффективность рационирования через систему цен
- •26. Потребление
- •27. Множество безразличия и карты кривых безразличия
- •28. Неоклассическая задача потребления. Модель рационального поведения потребителя.
- •29. Геометрическая интерпретация решения задачи (неоклассического потребления).
- •30. Пример задачи потребительского выбора.
- •31. Уравнение Слуцкого.
- •32. Модель р. Стоуна.
- •33. Интерпретация физического смысла функции:
- •34. Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации.
- •35. Теория фирмы. Производственная функция.
- •36. Свойства производственной функции.
- •37. Оптимизационная модель поведения фирмы
- •38. Модель максимального выпуска продукции при заданных затратах
- •39. Модель равновесия фирмы
- •40. Задачи долгосрочного планирования
- •41. Краткосрочная задача
29. Геометрическая интерпретация решения задачи (неоклассического потребления).
Допустимое множество набора благ для потребностей представляет собой Δ ограниченное осями координат и бюджетной прямой. Для решения задачи на этом множестве необходимо найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уравнением полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии более высокого уровня полезности (вправо и вверх) до тех пор, пока эти линии будут иметь общие точки с дополнительным множеством.
Таким образом, графическая интерпретация означает, что решение задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которую удобнее всего провести через точку пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт .
Необходимо так же помнить, что в оптимальной точке условия x1≥0, x2≥0 выполняются автоматически, что вытекает из свойств функции полезности . В то же время, если условия не отрицательности переменных не включены в явном виде в условия задачи, то сама задача является существенно проще и может быть приведена к решению как задача оптимизации без ограничений.
Формально выражение такой задачи имеет вид:
Для приведения задачи на условный максимум применяем функцию Лагранжа:
Находим ее первые частные производные:
Исключим из полученной системы трех уравнений неизвестную λ. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Эта система имеет вид:
Решение этой системы является укороченной критической точкой функции Лагранжа, и она является решением задачи потребительского выбора (в данном случае не рассматриваются так называемые точки и решения для них).
Подставим решение в равенство . Получим, что в точке локального рыночного равновесия отношения предельных полезностей и равно отношению рыночных цен на эти продукты.
В связи с тем, что отношение А равно предельной норме замены в точке локального рыночного равновесия.
Из чего следует, что предельная норма равно отношению рыночных цен на продукты.
30. Пример задачи потребительского выбора.
Рассмотрим задачу потребительского выбора с 2мя благами. Пусть неизвестные количества этих благ равны х1 и х2, а их рыночные цены р1 и р2, тогда задача потребительского выбора будет формализована в виде:
Учитывая изложенное выше бюджетное ограничение в оптимальной точке должно выполняться как равенство, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность равна 0, если одно отсутствует). Будем считать, что потребность в не отрицательности переменных будут выполняться автоматически. Исходя из этого, решаемая задача классического программирования превращается в задачу на условный экстремум.
Записав необходимое условие экстремума (согласно которому отношения предельной полезности благ должны быть равны отношению рыночных цен, а бюджетное ограничение должно выполняться как равенство) получим систему уравнений, которая имеет вид:
Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количество денег затраченных на оба блага должны быть одинаковыми.
Это вытекает из равенства весов или степени переменных х1 и х2 функции полезности. Тогда
В данном случае функция спроса каждого потребительского выбора приобретает следующий вид:
Из этого следует, что расход на каждое благо составляет половину общего дохода и чтобы найти количество общего блага следует разделить расходуемую сумму на его цену.
Для решения этой задачи мы не используем метод Лагранжа выражая х1 и х2 из бюджетных ограничений. Для более сложных случаев необходимо использовать методы дифференциального исчисления или метод мат программирования.