- •Контрольные варианты к задаче 1
- •Контрольные варианты к задаче 2
- •Контрольные варианты к задаче 3
- •Контрольные варианты к задаче 4
- •Контрольные варианты к задаче 5
- •Контрольные варианты к задаче 6
- •Контрольные варианты к задаче 7
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •Контрольные варианты к задаче 11
- •Контрольные варианты к задаче 12
- •Контрольные варианты к задаче 13
- •Контрольные варианты к задаче 14
- •Контрольные варианты к задаче 15
- •Контрольные варианты к задаче 16
- •Контрольные варианты к задаче 17
- •Контрольные варианты к задаче 18
- •Контрольные варианты к задаче 19
- •Контрольные варианты к задаче 20
- •Контрольные варианты к задаче 21
- •Контрольные варианты к задаче 22
- •Контрольные варианты задачи 23
- •Контрольные варианты задачи 25
- •Контрольные варианты задачи 26
- •Библиографический список
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Омский государственный технический университет
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВВЕДЕНИЮ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания
для студентов заочной формы обучения
Омск-2004
Составители: Кичигина Раиса Сергеевна, старший преподаватель;
Хаустова Нина Михайловна, старший преподаватель
Данные методические указания предназначены для студентов-заочников первого курса, обучающихся на технических специальностях ОмГТУ. Они содержат варианты контрольных заданий по аналитической геометрии и введению в математический анализ.
Задачи по аналитической геометрии охватывают следующие темы:
1) полярные координаты;
2), 3) прямая линия на плоскости;
4), 5) кривые второго порядка;
6), 7) плоскость;
8), 9), 10) прямая линия в пространстве.
Введение в математический анализ предполагает рассмотрение двух тем:
- предел функции (задачи 11-23).
- непрерывность и точки разрыва (задачи 24-26).
Прежде чем приступить к выполнению контрольных заданий, следует изучить теорию по конспекту установочных лекций и рекомендованной литературе. После этого желательно разобрать пример, приведенный перед каждой задачей.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задача 1. Если принять полюс за начало декартовых координат, а полярную ось за ось Ох, то декартовы координаты точки М и ее полярные координаты будут связаны зависимостями или
Из этих формул следует, что
Пример 1. Дано уравнение линии в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке , придавая значения с шагом . Построить линию. Записать ее уравнение в декартовой системе координат.
Составим таблицу значений функции .
0 |
|||||||||
1 |
1,05 |
1,24 |
1,7 |
3 |
12,8 |
-7,2 |
-3,5 |
-3 |
|
-3 |
-3,5 |
-7,2 |
12,8 |
3 |
1,7 |
1,24 |
1,05 |
1 |
Значения функции нужно вычислять только для верхней части таблицы, нижняя часть повторяет значения верхней в обратном порядке. Строим точки, полярные координаты которых заданы таблицей. Проведем лучи , , …, . Положительные значения отложим от полюса по соответствующему лучу, а отрицательные – по продолжению луча за полюс.
Запишем уравнение линии в декартовых координатах:
. Упрощая уравнение, получим ; ; ; . Получаем нормальное уравнение гиперболы с центром в точке С(2, 0).
Контрольные варианты к задаче 1
Дано уравнение линии в полярной системе координат. Определить точки, лежащие на линии, в промежутке . Шаг взять равным . Построить линию. Записать уравнение линии в декартовой системе координат.
1. |
. |
2. |
. |
3. |
. |
4. |
. |
5. |
. |
6. |
. |
7. |
. |
8. |
. |
9. |
. |
10. |
. |
11. |
. |
12. |
. |
13. |
. |
14. |
. |
15. |
. |
16. |
. |
17. |
. |
18. |
. |
19. |
. |
20. |
. |
21. |
. |
22. |
. |
23. |
. |
24. |
. |
25. |
. |
26. |
. |
27. |
. |
28. |
. |
29. |
. |
30. |
. |
Задача 2. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
, (1)
где А, В – координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору :
. (2)
Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору , имеет вид
. (3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
(4)
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данной направлении, имеет вид
(5)
где - угловой коэффициент прямой, - угол, образованный прямой с положительным направлением на оси ОХ.
у
0
Если прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид
. (6)
Уравнение (7)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой от оси ОУ.
у
b
х
Пусть две прямые заданы общими уравнениями
.
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
.
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
(8)
Пример 2
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
О
В С
М
Решение
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.