Введение.

Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.

Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

№1 Функции спроса и предложения, равновесная цена

Микро экономика – раздел экономики, который занимается анализом отдельных элементов экономической системы. Один из важнейших разделов микро экономики — изучение спроса и предложения. Спрос на некоторые товары — это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью (прибылями) потребителей. Предложение — это количество товара, который может быть предложено для продажи по данной цене.

Здравый смысл подсказывает: увеличение выпуска требует дополнительных затрат и, для того чтобы заинтересовать производителя в увеличении выпуска, нужно предложить ему повышенную цену. Отсюда вытекает, что предложение S нужно рассматривать, как возрастающую функцию цены Р. Если предложение зависит от цены, то и цена зависит от предложения. Экономисты обычно именно функцию Р = S(Q) называют функцией предложения, а её график — кривой предложения; здесь Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р.

Тот же здравый смысл подсказывает: если цена на определенный товар начинает возрастать, то количество проданного товара будет уменьшаться, то есть зависимость спроса Q от цены Р — убывающая функция. Экономисты называют функцией спроса функцию Р=D(Q), а ее график — кривой спроса, здесь Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

Хотя любое предположение о виде функциональных зависимостей S(Q) и D(Q) будет упрощением действительности, исследование этих функций позволяет частично «оценить» реальную ситуацию. Таким образом, анализируя модель, можно оценивать, прогнозировать изменение исследуемых величин. Чем ближе модель к реальности, тем, вообще говоря, она более сложнее и тем более точными могут оказаться прогнозы и оценки.

Некоторые содержательные выводы о взаимном влиянии показателей можно сделать, исследуя поведение графиков соответствующих функций. Ниже на рис. 1 изображены графики функций спроса и предложения, описываемые зависимостями P=D(Q):= - 5Q+150, P=S(Q):=Q²/4 + Q/2 + 70.

D(Q)

S(Q)

Представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, а соответствующая цена — равновесной ценой. Пересечение графиков при Р = 100

Рис. 1означает, что при такой цене весь сделанный товар раскупается, спрос и предложение совпадают. При ценах, ниже равновесной (Р< 100), спрос превышает предложение; при D(Q) > S(Q), возникает «дефицит» товара и производители могут повышать цену, рыночная цена будет стремиться к равновесной. Если же цены выше равновесной цены Р>100, то S(Q) большее D(Q), предложение превышает спрос, остается нереализованная продукция, которая побудит производителей снижать цену, и рыночная цена будет стремиться к равновесной. Для рассматриваемых функций Q = 10, соответственно равновесная цена равна 100.. Следует заметить, здесь рассмотрена очень упрощенная модель: ведь цена — не единый фактор, который определяет изменение спроса и предложения; с некоторыми другими факторами можно ознакомиться в трудах, в которые отражены исследование функций нескольких переменных в экономических задачах.

1. Порядок выполнения задания

1. Определите функцию предложения как функцию переменной Q.

2. Определите функцию спроса как функцию переменной Q.

3. Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения. Найдите графически координаты точки пересечения.

4. Найдите значение Q, при котором достигается равновесная цена.

Решение.

Q	0	10	14
S(Q)	60	79	95
D(Q)	100	30	2

предложение превышает спрос

№2 Функции спроса. Зависимость спроса от прибыли.

Предметом теории потребления является исследование того, как люди распределяют заработную плату между разными расходными статьями своего бюджета, в каких объемах они покупают продукты потребления и т.д.

Функции спроса описывают зависимость спроса D на продукт потребления от цены Р этого продукта и от дохода потребителя х -D=D (х,P). При фиксированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D=D (х).

Рассмотрим, как пример, функции спроса Торнквиста D(х), которые описывают зависимость размера спроса на разные группы товаров в зависимости от их цены и роли в потребительской корзине:

- спрос на малоценные товары;

- спрос на товары первой необходимости;

- спрос на товары второй необходимости (относительная роскошь)

- спрос на предметы роскоши.

Здесь α, β, γ — некоторые фиксированные параметры. На рис. 2. приведены графики функций спроса Торнквиста при .α=10 β=3 γ=2 . x – доход

Рис. 2

D3

D0

D1

D2

Из приведенных графиков видно, что при α = 10, β = 3, γ = 2 спрос на малоценные товары возрастает при небольших доходах, а потом, с возрастанием доходов, начинает падать и стремится к значению α сверху. Спрос на товары первой необходимости возрастает с возрастанием доходов и стремится к значению α снизу. Товары второй необходимости и предметы роскоши покупают только люди с прибылью, которая превышает γ = 2. При этом спрос на товары второй необходимости отстает от спроса на товары первой необходимости и ограничен сверху значением α. И только спрос на предметы роскоши с возрастанием доходов постоянно возрастает.

Порядок выполнения задание

1. Определите функцию спроса как функцию прибыли и параметров.

2. Постройте на одном графике кривые спроса для разных значений параметров.

Решение.

/

x	1	2,43	5	10	15
y	1,8	24,3	21,4	17,5	15,8

№3Максимальная прибыль

В наиболее общем виде прибыль π — разность между выручкой предприятия от реализации продукции R и полными затратами С: π = R - С.

Поскольку цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель, полная выручка, полученная от реализации товара в количества Q по цене — Р, исчисляется по формуле R=QР(Q), где Р= Р(Q) соответствующая функция спроса.

Полные затраты С разделяют на постоянные С_f, которые не зависят от объема производства Q, и переменные С_v — затраты на производство единицы продукции, то есть

С = С_f , + С_v Q.

Задача об определении максимальной прибыли заключается в определении такого объема производства Q_mах, при котором достигается максимальная прибыль, то есть нужно при заданных значениях С_f , С_v и заданной функции спроса P = P(Q) найти максимум функции

π (Q) = QР(Q)-(С_f + С_v Q ).

На рис. 3 приведен график зависимости прибыли для квадратичной функции P(Q) = 10Q – Q² при С_f=70, С_v =0.7.

Рис. 3.

В данном примере максимум прибыли равен 83,43 при Q = 6,6. Из рисунка видно, что производство прибыльно только при Q₁ < Q < Q₂;, где Q₁ и Q₂ — точки пересечения графика прибыли оси х, поскольку при таких значениях Q полная выручка превышает затраты.

Для аналитического определения границ интервала, в котором производство рентабельно (прибыль больше нуля) необходимо решить уравнение QР(Q)-(С_f + С_v Q ) >0 относительно Q.

Для аналитического определения объема производства Q, при котором достигается максимальная прибыль необходимо решить уравнение

относительно Q.

Порядок выполнения задания

1. Определите функцию полной прибыли как функцию объема проданного товара Q.

2. Постройте на графике кривую полной прибыли .

3. Найдите графически максимальную прибыль и границы прибыльного производства.

4. Найдите аналитически границу прибыльного производства.

5. Найдите производную функции прибыли и точку максимальной прибыли.

6. Вычислите максимальную прибыль.

Решение.

/*(-1)

Q	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	-10	1,1	10,2	17,3	22,4	25,5	26,6	25,7	22,8	17,9	11	2,1	-8,8

№ 4. Cредние и предельные показатели

Переменные в экономическом анализе называются показателями. В экономике широко используются средние значения: средняя производительность, средняя прибыль, средние затраты и др. Однако с помощью средних показателей нельзя определить, какое влияние на результат деятельности (прибыль, объем производства и др.) осуществляет изменение одного из показателей. В этом случае целесообразно анализировать изменения переменных, то есть применять методы дифференциального исчисления.

Предельная выручка определяется как производная полной выручки R=R(Q) по количеству товара Q, то есть она равняется скорости изменения выручки при изменении объема продаж.

Средняя выручка — это выручка на единицу продаж:

Если R(Q) = PQ, где P - цена единицы товара, то

то есть средняя выручка равняется цене единицы продукции.

Аналогично определяются предельные и средние показатели для других экономических показателей.

Средние и предельные затраты:

где C(Q) функция затрат.

Средняя и предельная производительность:

где Q(L) — производственная функция, которая описывает зависимость объема выработанной продукции Q от количества затраченной работы L.

Средняя и предельная склонность к потреблению:

где S(Y) — функция потребления, которая описывает зависимость объёма потребление S от национального дохода Y .

Средняя и предельная склонность к сбережению:

где Z(Y) — функция сбережений, которая описывает зависимость объемов капиталовложений Z от национального дохода Y . Заметим, что для простейшей двухсекторной модели Y = S + Z ,поэтому S'(Y) + Z'(Y) = 1, S_ср + Z_ср = 1.

Порядок выполнения задания:

1. Определите заданную экономическую функцию и постройте ее график.

2. Определите среднее значение и постройте его график.

3. Найдите предельное значение и изобразите его на том же графике.

Решение.

x	1	2	3	4	5
y	2,11	3,67	5,08	6,4	7,64

x	1	2	3	4	5
y	2,11	1,39	1,09	0,92	0,8

x	1	2	3	4	5
y	0,8	0,7	0,65	0,61	0,6

№5 Эластичность экономических функций

Эластичность — это безразмерная величина, которая показывает возможность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при относительном приращении аргумента стремящемся к нулю, то есть

Эластичность можно определить через производную и средние величины:

или как логарифмическую производную:

так как

Для функции, заданной на конечном множестве значений x_i рассматривают конечную (процентную) эластичность:

Эластичность спроса по цене определяется равенствами:

где D = D(Р) — функция спроса, Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.

Напомним, что функция спроса D = D(Р) — убывающая функция, поэтому эластичность отрицательна (точнее, неположительная), обычно анализируется величина ||.

Свойства эластичности:

1. эластичность – безразмерная величина, то есть =

2. эластичность взаимообратных функций – взаимообратные величины.

3. эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций, то есть

4. Экономический смысл эластичности: это процентное изменение экономического показателя при изменении аргумента на один процент.

Эластичность от некоторых функций следующая:

• эластичность от степенной функции постоянна и равна

• эластичность от показательной функции пропорциональна аргументу, то есть

• эластичность от линейной функции:

В зависимости от значений ||. различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если ||> 1, то есть относительное повышение цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противоположном случае, если || ≤ 1, товар называют товаром неэластичного спроса.

Существует связь между предельной прибылью и эластичностью спроса по цене.

Как уже отмечалось выше, суммарная выручка R(Q) исчисляется по формуле R(Q) = QP(Q), где P(Q) — функция спроса. Тогда предельную выручку R'(Q) можно выразить через .

Равенство справедливо для любой функции спроса.

Отсюда вытекает, что при реализации товаров неэластичного спроса (|| ≤ 1), предельная выручка отрицательна и суммарная выручка падает; если же спрос на товар эластичный (||> 1), то предельная выручка положительна и, следовательно, суммарная выручка возрастает. Справедливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарная выручка — возрастающая функция.

Эластичность предложения по цене определяется равенствами:

где S = S(P) — функция предложения, Q — количество товара, предложенного для продажи по цене Р . Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность неотрицательная, и анализируется величина

Ниже приведены вычисления предельной прибыли и эластичности спроса по цене при квадратичной функции спроса

Из второго свойства эластичности следуетПоэтому

,

На рис.4 приведен график модуля найденной эластичности спроса по цене.

E_P^D

P(Q)

Рис.4

Показано графическое определение объема продукции и цены, при которых товар теряет эластичность (Е≤1).

На рис. 5 изображены графики зависимостей выручки R(Q) и предельной выручки R_P(Q) в зависимости от объёма продукции Q, приобретенной потребителем по цене Р.

R

R_P

Рис. 5.

Оба показателя имеют максимумы при разных значениях Q; максимум R достигается, когда R_р обращается в нуль.

Для аналитического определения цены, при которой спрос на товар теряет эластичность, необходимо решить уравнение =1 относительно Q и подставить найденное значение в выражение для Р= Р(Q). Для рассматриваемого примера Q=4,517 , P(Q)=1,37.

Порядок выполнения задание

1. Определите функцию спроса Р= Р(Q) .

2. Найдите эластичность спроса по цене.

3. Определите функцию суммарной выручки.

4. Найдите предельную выручку.

5. Постройте графики эластичности спроса по цене и предельной выручки.

6. Постройте график суммарной выручки и предельной выручки.

7. Найдите на графику точку, в которой |E_D| = 1 .Определите графически. цену, при которой товар теряет эластичность.

8. Найдите аналитически точку Q, в которой |E_D| = 1 .

9. Вычислите аналитически соответствующее значение цены.

, где - функция спроса

–суммарная выручка

–предельная выручка

нет решений.

- уравнение вертикальной асимметрии.

– уравнение наклонной асимметрии.

№6 Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева В.В.)

Любое национальное хозяйство развивается в сложной системе межотраслевых взаимосвязей, понять которые во всей их совокупности путем простого суммирования невозможно. Например, спрос на автомобили оказывает влияние не только на автомобильную промышленность, но и косвенным путем на металлургию и области, которые вырабатывают шины, бортовую электронику, а через них на производство микросхем. Изменения в одной области неизбежно сказывается во всем народном хозяйстве.

Для анализа межотраслевых связей выдающийся экономист Леонтьев В.В. разработал специальный метод балансового анализа – “анализ затраты-выпуск” (Input-output analysis или I/O analysis), который позволяет исследовать процессы, связанные с межотраслевыми взаимодействиями. Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должна выработать каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности национального хозяйства системы в его продукции.

Пусть весь производственный сектор национальной экономике разделен на n “чистых отраслей ” (секторов). Словосочетание “чистая область” означает, что продукция каждой области является однородной.

Чистая область является экономической абстракцией, не обязательно существующей в виде каких-то организационных форм, то есть это модель. Например, под отраслью “электроэнергетика” можно понимать совокупность всех электростанций независимо от их принадлежности. Подобная идеализация разрешает провести тщательный анализ сформированной технологической структуры общественного производства и распределения.

Предположим, что каждая отрасль выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли вырабатывают разную продукцию. В процессе производства своего вида продукции каждая отрасль потребляет продукцию других отраслей.

Пусть в какой-либо момент времени Т₀ составлен балансовый отчет по национальной экономике по итоговым данным за фиксированный период времени, например, за прошедший год, по следующей форме.

Таблица 1

Отрасли покупатели (сектора Отрасли спро- родавцы са)  (сектора предложений) 		Отрасли производства							Конечный спрос (потребление инвестиции, экспорт(+), импорт(-) )		Объем выпуска
		1	2	….	j	…..	n
Отрасли производства	1	11	12	….	1j	….	1n	y1		q1
	2	21	22	….	2j	….	2n	y2		q2
	....	....	....	....	....	....	....	....		....
	i	i1	i2	….	ij	….	in	yi		qi
	....	....	....	....	....	....	....	....		....
	n	n1	n2	….	nj	….	nn	yn		qn
Добавленная стоимость (прибыль занятых по найму,  предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее)		g1	g2	....	gj	....	gn	-		D
Объем затрат 		q1	q2	....	qj	....	qn	D		V

Строки приведенной таблицы показывают распределение выпуска (output) каждого вида продукции. Величина _ij показывает объем продукции отрасли i, которую закупили у нее отрасли j ( i, j = 1,2,…) в качестве промежуточных продуктов. Конечный спрос y_i показывает объем продукции i-й отрасли, который был потреблен на инвестиции, экспорт, для создания запасов. Число q_i равняется общему объему продукции (валовому выпуску) i-й отрасли за отчетный период. Каждая строка характеризуется следующим балансом:

выпуск данного вида продукции = промежуточный спрос + конечный спрос,

который математически может быть записан как

(1)

Столбцы таблицы показывают структуру затрат (input), или структуру используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. Для столбцов устанавливается следующий баланс:

затраты отрасли = промежуточные затраты + добавленная стоимость

что в математической записи выглядит как

(2)

Промежуточные затраты являются исходными материалами, закупленными i – й отраслью у отраслей (секторов) 1,2,...,n. Добавленная стоимость является факторными затратами отрасли, то есть вновь приобретенной стоимостью, которая распадается на заработную плату, предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления.

Для национальной экономики, исходя из закона сохранения должны выполняться отношения:

Выпуск отрасли = затраты отрасли,

Общая сумма конечного спроса = общая сумма добавленной стоимости.

Математически это записывается следующим образом:

(3)

(4)

Уравнения (3) и (4) называются балансовыми уравнениями. Единицами измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (тонны, штуки) или стоимостными, в зависимости от чего различают натуральный и стоимостный баланс. В будущем будим иметь в виду стоимостный баланс.

Таблица 1 также называется таблицей межотраслевого баланса и она позволяет изучать структуру потоков ресурсов в национальной экономике. Но более информативными являются относительные величины. Если все элементы α_ij таблицы 1 разделить на величину q_j (объем продукции j – й отрасли), а числа y_i на q_i , то числа a_ij =α_ij /q_j , i,j = 1,2,…,n, можно понимать как объем продукции i - й отрасли, необходимой для производства одной единицы продукции отрасли с номером j; числа y_i / q_i , i = 1,2,…,n, как долю продукции i –й отрасли, которая пошла на непроизводственное потребление.

Числа a_ij ,i = 1,2,…,n, носят название коэффициентов прямых, непосредственных затрат j – й отрасли и в некотором смысле полностью характеризуют технологию j – й отрасли в отчетном периоде: выпуск единицы продукции возможен при структуре затрат, характеризуемыми величинами a_ij. Исходя из экономического смысла, считаем коэффициенты a_ij положительными.

Матрица А=[ a_ij ], составленная из коэффициентов прямых затрат a_ij , несет много информации о структуре межотраслевых связей и существующей технологии общественного производства, которые сложились в народном хозяйстве. Сравнивая такие матрицы, составленные в разные моменты времени, можно прогнозировать направления изменения и развития технологии.

Например, некоторые коэффициенты затрат труда при семидесяти шести отраслевой схеме классификации отраслей народного хозяйства США имеют вид

Таблица 2

Название отрасли	1947 г.	1958 г.
Автомобили и оборудование	0,2149	0,1569
Ремонт автомобилей	0,4769	0,4969
Нефтепереработка	0,1328	0,0881

Из таблицы 2 видно, что вследствие внедрения прогрессивной технологии резко уменьшились затраты на производство автомобилей и нефтепереработку, но в сфере ремонта автомобилей, где преобладает ручной труд, относительные затраты возросли.

Матрицу А можно использовать для текущего и долгосрочного планирования. Сделаем следующие предположения:

• Существующая технология производства неизменна в течение некоторого промежутка времени [T₀, T], где Т>T₀ . В зависимости от поставленной задачи промежуток [T₀, T] может равняться одному календарному периоду (год) или нескольким.

• Технология производства линейная, то есть будем считать, что для выпуска продукции i-й отрасли объемом x_i необходимо и достаточно сделать затраты в объемах x_ia_ij , j=1,2,…,n, продукции каждой отрасли.

Все это вместе приводит к тому, что мы будем рассматривать идеализацию реальных процессов - модель. Мы не можем производить какой угодно объем продукции, так как не хватит прежде всего производственных мощностей.

Пусть i-я отрасль должна вырабатывать объем x_i, i=1,2,…,n, валового выпуска своей продукции. Обозначим через X = [,,….,]^T матрицу-столбец валового выпуска всех секторов. Воспользовавшись предположением о линейности, рассчитаем затраты отрасли i на выпуск продукции в других отраслях. Это будет

. (5)

Из уравнения баланса вытекает, что выражение (5) равняется x_i минус конечный спрос, то есть

где yконечный спрос на продукцию i-й отрасли.

В матричном виде AX = X - Y, или

( E – A ) X = Y, (6) где Y - вектор конечного спроса национальной экономики, E – единичная матрица.

Матрица B = (E-A)^-1 называется матрицей полных затрат или обратной матрицей Леонтьева. Уравнение (6) вместе с интерпретацией матрицы A и векторов X, Y называется моделью Леонтьева. При планировании ставится задача: найти вектор X валового выпуска, чтобы удовлетворить вектор конечного спроса Y при существующей структуре экономики, которая задается матрицей A.

Если задан вектор конечного спроса Y и существует положительный вектор производства X, который удовлетворяет уравнению (6), то модель Леонтьева называется продуктивной.

Для установления продуктивности модели Леонтьева необходимы выполнения условия Хаукинса-Саймона:

Теоретически решение уравнения (6) весьма компактно:

X = (E – A )^-1 Y = B∙Y,

где B = ( E – A )^-1 - обратная матрица Леонтьева. C является ни чем иным, как матрицей коэффициентов полных затрат. Экономическое содержание ее элементов b_ij заключается в следующему: коэффициент b_ij показывает общую потребность в валовом выпуске продукции отрасли i для производства единицы конечной продукции отрасли j.

Например, для выпуска автомобилей нужна продукция металлургической отрасли, это будет первичный спрос; также нужны подшипники, для выпуска которых нужна продукция металлургической отрасли – это образует вторичный спрос со стороны отрасли автомобилестроения на продукцию металлургической отрасли и так далее.